Cosinussatsen
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.
Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:
Då gäller att
Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.
Bevis[redigera | redigera wikitext]
Om Pythagoras sats tillämpas erhålls
Enligt figuren är
vilket om det insätts i uttrycket för ger
En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut
Bevis med avståndsformeln[redigera | redigera wikitext]
En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med
Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som
och slutligen