Cosinussatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Triangel-beteckningar.svg

Då gäller att

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Triangle-with-cosines.svg

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

Enligt figuren är

vilket om det insätts i uttrycket för ger

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

Bevis med avståndsformeln[redigera | redigera wikitext]

Law of Cosines Coordinate Proof Diagram.gif

En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med

Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som

och slutligen

Se även[redigera | redigera wikitext]