Cosinussatsen

c ² = a ² + b² - 2ab cos γ

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos \gamma$

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

$\ a^2 = \left( a \cos \beta \right)^2 + \left( b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2 \right)$

Enligt figuren är

$\ a \cos \beta = c - b \cos \alpha$

vilket om det insätts i uttrycket för $\ a^2$ ger

$a^2 = \left( c - b \cos \alpha \right)^2 + b^2 - \left( b \cos \alpha \right)^2$

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen