Triangel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För musikinstrumentet, se Triangel (musikinstrument).
En triangel är en tresidig polygon

Triangeln är en tresidig polygon och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre räta linjer vars skärningpunkter bildar triangelns hörn.

Triangelns hörn betecknas vanligen med A, B, C och motsvarande vinklar med . Triangeln kan refereras till som triangeln ABC.

Sidan a säges vara motstående sida till hörnet A och vinkeln . Hörnet A sägs vara motstående hörn till sidan a.

Semiperimetern är triangelns halva omkrets eller

Artikeln behandlar trianglar i planet; trianglar på sfäriska och hyperboliska ytor har särskilda artiklar.

Typer av trianglar[redigera | redigera wikitext]

Triangel-slag.svg

En triangel är

  • Spetsvinklig om alla vinklar är mindre än 90 grader
  • Rätvinklig om en vinkel är rät (90 grader eller radianer)
  • Trubbvinklig om en av vinklarna är större än 90 grader
Triangel-liksidig-likbent.svg
  • Likbent om två sidor är lika långa
  • Liksidig om alla sidor är lika långa

Vinklar[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vinklar-2.png

Supplementvinkeln till en vinkel i en triangel kallas yttre vinkel.

Vinkelsumma[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vinkelsumma.svg

En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.

Höjder[redigera | redigera wikitext]

En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.

Triangel-höjder.png

Höjden mot sidan a har längden

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets). Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.

Bisektriser[redigera | redigera wikitext]

Triangel-bisektris-2x.png

En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.

Bisektrisen till en yttre vinkel kallas yttre bisektris.

Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.

Bisektrisens längd[redigera | redigera wikitext]

Triangel-bisektris-2.png

Längden av bisektrisen från hörnet A är

Bisektrissatsen[redigera | redigera wikitext]

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

Medianer[redigera | redigera wikitext]

Triangel-medianer-2.png

Medianen är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i en punkt.

Medianernas längder är

Area[redigera | redigera wikitext]

Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2 eller

Arean kan också beräknas med herons formel som

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).

Arean kan även beräknas med den trigonometriska sinusfunktionen enligt areasatsen

Med integral[redigera | redigera wikitext]

Triangel-area-calc.png

Arean av en triangel kan beräknas med integralen

Med vektorer[redigera | redigera wikitext]

Triangelns area är hälften av arean av en parallellogram med samma bas och höjd

Arean av en parallellogram i ett tredimensionellt euklidiskt rum kan beräknas med hjälp av vektorer. Låt vektorerna AB och AC svara mot sträckan från A till B respektive A till C. Arean av parallellogrammen ABCD är

vilket är magnituden av kryssprodukten av vektorerna AB och AC. Arean av triangeln ABC är hälften av denna

Triangelns area kan med hjälp av skalärprodukt skrivas som

I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn AB skrivas som (x1,y1) och AC som (x2,y2), vilket ger arean som

Samband mellan sidor och vinklar[redigera | redigera wikitext]

Triangle-notations.png

Cosinussatsen[redigera | redigera wikitext]

Om till exempel vinkeln är rät och då erhålls Pytagoras sats

Sinussatsen[redigera | redigera wikitext]

Tangenssatsen[redigera | redigera wikitext]

Cirklar[redigera | redigera wikitext]

Omskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-cirklar-2.svg

Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och

dess radie är

Inskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-inskrivna-cirkeln.svg

Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är

där s är semiperimetern.

Vidskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vidskrivna-cirkeln.svg

Bisektrisen från A och bisektrisen från B's yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt. Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan a är

där T är triangelns area och s semiperimetern.

Kongruensfall[redigera | redigera wikitext]

Två trianglar är kongruenta om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.

Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)[redigera | redigera wikitext]

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och A = A', så är ABC kongruent med A'B'C'.

Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)[redigera | redigera wikitext]

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är ?ABC kongruent med A'B'C'.

Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)[redigera | redigera wikitext]

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', A = A' och B =B', så är ABC kongruent med A'B'C'.

Likformighet[redigera | redigera wikitext]

Trianglar-likformiga.svg

Om det för två trianglar med sidorna

respektive , existerar ett tal , en skalfaktor, sådant att

sägs trianglarna vara likformiga.

Likformighet betecknas

Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)[redigera | redigera wikitext]

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

och

är trianglarna likformiga.

Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)[redigera | redigera wikitext]

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet (VVV, Vinkel-Vinkel-Vinkel)[redigera | redigera wikitext]

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

är trianglarna likformiga.

Triangelns tyngdpunkt[redigera | redigera wikitext]

Triangel, tyngdpunkt.svg

En triangelformad ytas masscentrum (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.

Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.

Triangel-centroid-calc.png

Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean utövar då momentet med avseende på origo, vilket för hela triangeln ger

där A är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger

Med lodlina[redigera | redigera wikitext]

Triangle-centroid-find.svg

Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Weisstein, Eric W. "Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]