Cauchy-följd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En Cauchyföljd, de blåa punkterna kommer närmare och närmare.
En följd som inte är en Cauchyföljd.

En Cauchy-följd, ibland kallat Cauchy-sekvens, är en talföljd där skillnaden mellan två på varandra följande tal så småningom minskar och kan göras godtyckligt liten genom att gå ett ändligt antal steg i talföljden. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Augustin Louis Cauchy.

Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det vill säga varje konvergent talföljd är också en Cauchy-följd, medan det finns Cauchy-följder som inte är konvergenta.

Ett rum i vilket alla Cauchy-följder konvergerar (mot något element i samma rum) kallas fullständigt eller komplett. Exempel på fullständiga rum är de reella talen och de komplexa talen. Ett exempel på ett rum som inte är fullständigt är de rationella talen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

I ett metriskt rum, (X,d)\,, är en följd av element \{x_i\}_{i=1}^\infty \in X en Cauchy-följd om avståndet mellan element, d(x_n,x_m)\,, går mot noll då index n och m går mot oändligheten oberoende av varandra :

 \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists N_\varepsilon \geq 1, \, \forall \, n,m > N_\varepsilon, \quad d(x_n,x_m) < \varepsilon.

I ord; För alla ε finns ett N så att två godtyckliga element med index större än N har ett avstånd som är mindre än ε.

Då ett normerat rum (X, \|\cdot\|) även är ett metriskt rum kan man enkelt överföra definitionen på normerade rum:

 \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists N_\varepsilon \geq 1, \, \forall \, n,m > N_\varepsilon, \quad \|x_n - x_m\| < \varepsilon.

Där d(x_n, x_m) har ersätts med \|x_n-x_m\|. Exempelvis blir de reella och komplexa talen normerade rum med absolutbelopp som norm.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje konvergent följd är en Cauchyföljd.

Bevis

En följd \{x_k\}_{k=1}^\infty av element i ett metriskt rum (X,d) konvergerar mot ett element x \in X om avståndet mellan x och x_n går mot noll då index n går mot oändligheten :

\forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, N_\varepsilon \geq 1, \, \forall \, n>N_\varepsilon, \quad d(x,x_n) < \varepsilon.

Om vi väljer två index n,m > N_{\varepsilon/2} oberoende av varandra, så ger triangelolikheten att avståndet mellan elementen x_n och x_m kan begränsas uppåt:

d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x_m,x) < \varepsilon,

vilket visar att \{x_k\}_{k=1}^\infty är en Cauchy-följd.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande exempel visar att huruvida en Cauchy-följd konvergerar eller ej, har att göra med det metriska rummet (X,d) och inte med själva Cauchy-följden.

Låt det metriska rummet vara det öppna intervallet (0,1) tillsammans med metriken
d(x,y) = \vert x - y \vert (absolutbeloppet av talet x - y \,).
Sekvensen \{x_k\}_{k=1}^\infty definierad som x_k = 1 - \frac{1}{k}
är en Cauchy-följd, eftersom avståndet mellan två godtyckliga element
d(x_n,x_m) = \left\vert \frac{1}{n} - \frac{1}{m}\right\vert  \longrightarrow 0,
då index n,m \longrightarrow \infty oberoende av varandra. Följden konvergerar mot talet 1, men detta tal är inte ett element i det metriska rummet ((0,1),\vert \cdot \vert). Därför konvergerar Cauchy-följden inte i det givna metriska rummet.