Cauchy-följd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En cauchyföljd, de blåa punkterna kommer närmare och närmare.
En följd som inte är en cauchyföljd.

En cauchyföljd, ibland kallat cauchysekvens, är en talföljd där skillnaden mellan två tal i följden är godtyckligt liten så länge talen dyker upp tillräckligt sent i följden. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Augustin Louis Cauchy.

Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det vill säga varje konvergent talföljd är också en cauchyföljd, medan det finns cauchyföljder som inte är konvergenta.

Ett rum i vilket alla cauchyföljder konvergerar (mot något element i samma rum) kallas fullständigt eller komplett. Exempel på fullständiga rum är de reella talen och de komplexa talen. Ett exempel på ett rum som inte är fullständigt är de rationella talen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

I ett metriskt rum är en följd av element en cauchyföljd om avståndet mellan element, , går mot noll då index och går mot oändligheten oberoende av varandra :

I ord: För varje ε finns ett sådant att två godtyckliga element med index större än har ett avstånd som är mindre än ε.

Då ett normerat rum även är ett metriskt rum, kan man enkelt överföra definitionen på normerade rum:

Där har ersatts med . Exempelvis blir de reella och komplexa talen normerade rum med absolutbeloppet som norm.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje konvergent följd är en cauchyföljd.

Bevis

En följd av element i ett metriskt rum konvergerar mot ett element om avståndet mellan och går mot noll då index går mot oändligheten :

Om vi väljer två index oberoende av varandra, så ger triangelolikheten att avståndet mellan elementen och kan begränsas uppåt:

vilket visar att är en cauchyföljd.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande exempel visar att huruvida en cauchyföljd konvergerar beror på det metriska rummet (X,d) och inte på själva cauchyföljden.

Låt det metriska rummet vara det öppna intervallet tillsammans med metriken
(absolutbeloppet av talet ).
Sekvensen definierad som
är en cauchyföljd, eftersom avståndet mellan två godtyckliga element
då index oberoende av varandra. Följden konvergerar mot talet , men detta tal är inte ett element i det metriska rummet . Därför konvergerar cauchyföljden inte i det givna metriska rummet.