Hoppa till innehållet

Talföljd

Från Wikipedia

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

Talen kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, .

En talföljd kan betecknas Ofta används den kortare beteckningen .

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden vilket ger talföljden .

Att beskriva en talföljd

[redigera | redigera wikitext]

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

En talföljd kallas

  • växande om för alla n

och strängt växande om för alla n

  • avtagande om för alla n

och strängt avtagande om för alla n

  • monoton om den är antingen växande eller avtagande,
  • oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
  • begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att för alla n
  • begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att för alla n

Konvergens och divergens

[redigera | redigera wikitext]

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

  • är konvergent med gränsvärdet 0;
  • är konvergent med gränsvärdet 0;
  • är divergent;
  • är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling ; den senare står för den konvergenta följden vars gränsvärde är 25/33.

Vanliga talföljder

[redigera | redigera wikitext]
Exempel:
Exempel:
  • Fibonacciföljden: Följden av Fibonaccital, där varje element är summan av de båda närmast föregående.

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]