Diffeomorfi

En diffeomorfi av en kvadrat.

Inom differentialgeometri är en diffeomorfi en form av isomorfi mellan differentierbara mångfalder. En funktion $f:M\rightarrow N$ är en diffeomorfi om den är glatt, d.v.s. oändligt differentierbar, och det finns en funktion $g:N\rightarrow M$ som också är glatt så att $f\circ g=id_{M}$ och $g\circ f=id_{N}$.

Exempel

• För varje differentierbar mångfald M är identitetsfunktionen en diffeomorfi från M till M.
• Funktionen $x\rightarrow x^{3}$ på R har en invers $x\rightarrow x^{\frac {1}{3}}$, men är inte en diffeomorfi eftersom inversen inte är glatt.
• Funktionen $x\rightarrow {\frac {1}{x}}$ är en diffeomorfi mellan (0,1) och $R^{+}$

Diffeomorfier i ${\mathbb {R} }^{n}$

Givet öppna mängder $U\subseteq R^{n}$ och $V\subseteq R^{m}$ och en funktion $f:U\rightarrow V$ är $f$ en diffeomorfi omm:

1. $f$ är bijektiv,
2. Jacobimatrisen för $f$ är skild från noll i varje punkt.

Villkor 2 medför att det inte finns några diffeomorfier mellan U och V om n är skilt från m.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör diffeomorfi.