Differential

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Definition i Rn[redigera | redigera wikitext]

Låt f\colon U \rightarrow \mathbb R^m vara en funktion och U en öppen delmängd i \mathbb R^n. Funktionen f säges vara differentierbar[1] i a \in U om det existerar en linjär avbildning L sådan att

 \lim_{|h| \to 0}\frac{f(a+h) - f(a) - L(h)}{|h|}= 0\ .

Den linjära avbildningen L ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till f i a samt betecknas df_a. Differentialen blir således en linjär approximation till differensen \Delta_af(h) = f(a+h) - f(a) för h nära noll, eller omformulerat, f(a+h) \approx f(a) + df_a(h). Matrisen hörande till differentialen betecknas f'(a) och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet m=n=1, så sammanfaller f'(a) med derivatan i a, och i fallet m=1, n>1, så betecknas vanligen f'(a) med \nabla f(a).

Differential och riktningsderivata[redigera | redigera wikitext]

Riktningsderivatan, D_vf(a), av f i a utmed riktningen v\ne 0 ges av gränsvärdet

D_vf(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) - f(a)}{t}.

En räkning ger,

D_vf(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) - f(a)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) - f(a)-df_a(tv)+df_a(tv)}{t} =
=\lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) - f(a)-df_a(tv)}{t} + df_a(v) =  0 + df_a(v) = df_a(v)

varför D_vf(a) = df_a(v). Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i v, givet konventionen D_0 = 0.

Klassisk framställan medelst Leibniz' notation[redigera | redigera wikitext]

Betrakta fallet m=n=1 och beteckna med x identitetsfunktionen \mathbb R \rightarrow \mathbb R. Eftersom derivatan av x är 1, så är dess differential dx_a(h) = 1\cdot h = h. Om f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan df_a(h) = f'(a)h d.v.s. df_a(h) = f'(a)dx_a(h). Om nu Leibniz' notation, f'(a) = df/dx, nyttjas, och index samt variabln h undertrycks, så erhålles, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

df = \frac{df}{dx}dx.

Analogt fås i fallet m=1, n>1 den klassiska formeln

df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.

Räkneexempel: Approximation[redigera | redigera wikitext]

Låt f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R ges av f(x)=\sin(x). Differentialen av f vid a=\pi ges då av multiplikation med f'(\pi)=\cos(\pi)=-1. Ett närmrevärde till f(3) är då med h=3-\pi\approx -0.14 och a=\pi:

f(3) = f(\pi + (3 - \pi)) = f(a + h) \approx f(a) + df_a(h) \approx f(\pi) + (-1)\cdot(-0.14) = 0.14..

Anm. Med fem decimalers nogrannhet är f(3) \approx 0.14112.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Edwards, Jr., C.H. (1994). Advanced Calculus of Several Variables. New York: Dover Publications. Sid. 67. ISBN 978-0-486-68336-2