Differential

För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

---

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Definition i Rⁿ

Låt $f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$$f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ vara en funktion och $U$$U$ en öppen delmängd i $\mathbb {R} ^{n}$${\mathbb R}^{n}$. Funktionen $f$$f$ säges vara differentierbar i $a\in U$$a\in U$ om det existerar en linjär avbildning $L$$L$ sådan att

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}}=0\$$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}}=0\$.

Den linjära avbildningen $L$$L$ ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till $f$$f$ i $a$$a$ samt betecknas $df_{a}$$df_{a}$. Differentialen blir således en linjär approximation till differensen $\Delta _{a}f(h)=f(a+h)-f(a)$$\Delta _{a}f(h)=f(a+h)-f(a)$ för $h$$h$ nära noll, eller omformulerat, $f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)$$f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)$. Matrisen hörande till differentialen betecknas $f'(a)$$f'(a)$ och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet $m=n=1$$m=n=1$, så sammanfaller $f'(a)$$f'(a)$ med derivatan i $a$$a$, och i fallet $m=1,n>1$$m=1,n>1$, så betecknas vanligen $f'(a)$$f'(a)$ med $\nabla f(a)$$\nabla f(a)$.

Differential och riktningsderivata

Riktningsderivatan, $D_{v}f(a)$$D_{v}f(a)$, av $f$$f$ i $a$$a$ utmed riktningen $v\neq 0$$v\neq 0$ ges av gränsvärdet

$D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}$$D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}$.

En räkning ger,

$D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)+df_{a}(tv)}{t}}=$$D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)+df_{a}(tv)}{t}}=$

=$\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)}{t}}+df_{a}(v)=0+df_{a}(v)=df_{a}(v)$$\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)}{t}}+df_{a}(v)=0+df_{a}(v)=df_{a}(v)$

varför $D_{v}f(a)=df_{a}(v)$$D_{v}f(a)=df_{a}(v)$. Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i $v$$v$, givet konventionen $D_{0}=0$$D_{0}=0$.

Klassisk framställan medelst Leibniz' notation

Betrakta fallet $m=n=1$$m=n=1$ och beteckna med $x$$x$ identitetsfunktionen $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$${\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$. Eftersom derivatan av $x$$x$ är 1, så är dess differential $dx_{a}(h)=1\cdot h=h$$dx_{a}(h)=1\cdot h=h$. Om $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$$f\colon {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan $df_{a}(h)=f'(a)h$$df_{a}(h)=f'(a)h$ d.v.s. $df_{a}(h)=f'(a)dx_{a}(h)$$df_{a}(h)=f'(a)dx_{a}(h)$. Om nu Leibniz' notation, $f'(a)=df/dx$$f'(a)=df/dx$, nyttjas, och index samt variabeln $h$$h$ undertrycks, så erhålles, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

$df={\frac {df}{dx}}dx$$df={\frac {df}{dx}}dx$.

Analogt fås i fallet $m=1,n>1$$m=1,n>1$ den klassiska formeln

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$.

Räkneexempel: Approximation

Låt $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$$f\colon {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ ges av $f(x)=\sin(x)$$f(x)=\sin(x)$. Differentialen av $f$$f$ vid $a=\pi$$a=\pi$ ges då av multiplikation med $f'(\pi )=\cos(\pi )=-1$$f'(\pi )=\cos(\pi )=-1$. Ett närmrevärde till $f(3)$$f(3)$ är då med $h=3-\pi \approx -0.14$$h=3-\pi \approx -0.14$ och $a=\pi$$a=\pi$:

$f(3)=f(\pi +(3-\pi ))=f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)\approx f(\pi )+(-1)\cdot (-0.14)=0.14.$$f(3)=f(\pi +(3-\pi ))=f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)\approx f(\pi )+(-1)\cdot (-0.14)=0.14.$.

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är $f(3)\approx 0.14112$$f(3)\approx 0.14112$.