Differential

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Definition i Rn[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en funktion och en öppen delmängd i . Funktionen säges vara differentierbar[1] i om det existerar en linjär avbildning sådan att

.

Den linjära avbildningen ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till i samt betecknas . Differentialen blir således en linjär approximation till differensen för nära noll, eller omformulerat, . Matrisen hörande till differentialen betecknas och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet , så sammanfaller med derivatan i , och i fallet , så betecknas vanligen med .

Differential och riktningsderivata[redigera | redigera wikitext]

Riktningsderivatan, , av i utmed riktningen ges av gränsvärdet

.

En räkning ger,

=

varför . Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i , givet konventionen .

Klassisk framställan medelst Leibniz notation[redigera | redigera wikitext]

Betrakta fallet och beteckna med identitetsfunktionen . Eftersom derivatan av är 1, så är dess differential . Om är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan d.v.s. . Om nu Leibniz notation, , nyttjas och index samt variabeln undertrycks, så erhålls, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

.

Analogt fås i fallet den klassiska formeln

.

Räkneexempel: Approximation[redigera | redigera wikitext]

Låt ges av . Differentialen av vid ges då av multiplikation med . Ett närmrevärde till är då med och :

.

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är .

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Edwards, Jr., C.H. (1994). Advanced Calculus of Several Variables. New York: Dover Publications. sid. 67. ISBN 978-0-486-68336-2