Differential

För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

---

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Differentialen av en funktion $f(x)$, som betecknas

$df(x)$ (eller bara $df$),

är den linjära approximationen av differensen

$\Delta f(x) = f(x+h)-f(x)$.

$\Delta f(x)$ blir därmed en funktion som (även) beror av h. $df(x)$ är en approximation av denna funktion, närmare bestämt en linjär approximation, och beror även den av h.

Funktionen $df(x)$ av h, eller $[df(x)](h)$, definieras som

$[df(x)](h) = f^\prime(x)h$.

Den motsvarande definitionen för funktioner av flera variabler är

$[df(\bar{x})](\bar{h})=grad(f(\bar{x})) \cdot \bar{h}$.

Approximationen blir (för ett fixt x)

$\Delta f(x) = f(x+h)-f(x) = f^\prime(x)h + h\varrho(h)$,

där $h\varrho(h)$ är felet (som ej är oberoende av x). I figuren ses geometriskt hur f ersätts med sin tangent i x. [figur finns ej än]

$[df(x)](h)$ är alltså en linje parallell med tangenten till funktionen f(x) i x. (Tangenten är $f(x) + [df(x)](h)$).

Differentialer kan användas för att beräkna ett närmevärde på en funktion. Exempelvis $f(x) = x^3$. Om vi vill beräkna f(2.05) kan vi approximera detta som

$f(2) + [df(2)](0.05) = f(2) + f^\prime(2) \cdot 0.05 = 8 + 12 \cdot 0.05 = 8.6$.

(Notera att $f(2.05) = 2.05^3 = 8,615125$.)

Noteras att

$[dx](h) = x^\prime h = 1 \cdot h = h$

får man

$[dy](h) = y^\prime h = y^\prime [dx](h)$

vilket ger

$\frac{[dy](h)}{[dx](h)} = y^\prime$.

Uttryckt som funktion h av ger detta det välkända uttrycket

$y^\prime = \frac{dy}{dx}$.