Differentialkalkyl

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Differentialkalkyl är det område inom den matematiska analysen som behandlar derivator och differentialer.


Förklaring[redigera | redigera wikitext]

Varje kurva eller funktion kan betraktas som en del i en serie olika funktioner. Varje funktion i serien utgör derivatan av den tidigare funktionen, och integralen av den efterkommande funktionen. Om man utgår ifrån en specifik funktion i serien, så utgör funktionen två steg därefter i serien dess andra derivata, den därefter dess tredje derivata osv. Funktionerna i denna serie relaterar till varandra på så sätt att om man stoppar in x i varje funktion, så får man ut volymen t.o.m. x, i den kurva som beskriver den efterkommande funktionen. Man får även ut tangensen (lutningen) för punkt x, beskrivet i förändring av y per förändring av x i den kurva som beskriver den tidigarekommande funktionen i serien. Denna relation gäller för alla funktioner i serien.

Om man har en funktion i form av ett algebraiskt uttryck, kan man omvandla det enligt vissa regler, så att man får fram antingen integralen (uttrycket för den tidigare funktionen i serien), eller derivatan (uttrycket för den efterkommande funktionen i serien).

Om man har ett uttryck som beskriver fysisk position längs en linje vid olika tidpunkter, och i stället vill få fram ett uttryck som beskriver fart vid olika tidpunkt, så kan man omvandla uttrycket så att man får fram uttrycket för derivatan, vilket i stället beskriver fart vid olika tidpunkt. Fart kan betraktas som lutning eller tangens i en kurva som beskriver fysisk position. Omvänt så utgör tillryggalagd sträcka volymen i en kurva som beskriver fart vid olika tidpunkt.

De regler enligt vilka algebraiska uttryck omvandlas för att finna derivatan, är bl.a. följande:

Produktregeln Kvotregeln Potensregeln Fermats kedjeregel

Historia[redigera | redigera wikitext]

Differentialkalkylen utvecklades främst under 1600-talet, även om den var känd innan dess. Descartes skrift La Géometri (1637) fick stort inflytande och ledde så småningom fram till Newtons och Leibniz oberoende upptäckter av sambandet mellan tangenter och areor som lade grunden till den moderna integral- och differentialkalkylen.

Se även[redigera | redigera wikitext]