Dirichletserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en Dirichletserie (benämnd efter Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) en serie

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

där s är ett komplext tal och a är en följd av komplexa tal. Dirichleterier är specialfall av allmänna Dirichletserier.

Dirichletserier spelar en viktig roll inom analytisk talteori. Riemanns zetafunktion definieras oftast som en Dirichletserie, såsom även L-funktioner. Det har förmodats Selbergklassen satsifierar generaliserade Riemannhypotesen. Serierna är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Den kändaste Dirichletserien är Riemanns zetafunktion

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}.

En annan serie är

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

där μ(n) är Möbiusfunktionen. Denna, och många andra serier kan bevisas genom att använda Möbiusinversion och Dirichletfaltning till kända serier.

Dirichlets L-funktion definieras som

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}

där χ är en Dirichletkaraktär.

En viktig klass av Dirichletserier är Selbergklassen.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet series, 11 mars 2014.