Dedekinds zetafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är Dedekinds zetafunktion av en algebraisk talkropp K, vanligen betecknad med ζK(s), en generalisering av Riemanns zetafunktion, som är specialfallet av Dedekinds zetafunktion i fallet då K är de rationella talen Q. Dedekinds zetafunktion har flera gemensmma egenskaper med Riemanns zetafunktion: den definieras som en Dirichletserie, den har en Eulerprodukt, den satisfierar en funktionalekvation, den har en analytisk fortsättning till en meromorf funktion i komplexa planet C med bara en enkel pol vid s = 1. Dess värden ger aritmetisk information om K. Den utvidgade Riemannhypotesen säger att om ζK(s) = 0 och 0 < Re(s) < 1 är Re(s) = 1/2.

Dedekinds zetafunktion är uppkallad efter Richard Dedekind.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt K vara en algebraisk talkropp. Dedekinds zetafunktion av K definieras för komplexa tal s med reell del Re(s) > 1 som Dirichletserien

där går genom alla heltalsideal av och är deras absolutnorm. Serien konvergerar absolut och likformigt för för alla . Dedekinds zetafunktion kan skrivas som Eulerprodukten

där går över alla primideal av . Zetafunktionen kan fortsättas analytiskt till . I fallet K = Q reducerar sig detta till definitionen av Riemanns zetafunktion.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind zeta function, 25 maj 2013.