Energiekvationen

Energiekvationen bygger på Reynolds transportteorem (RTT) där den extensiva storheten B står för energi. Den intensiva storheten β blir då energi per enhet massa:

$\beta ={dE \over dm}={\mathit {e}}$

Grundform

Energiekvationen kan förenklas beroende på förhållanden men skrivs i grundform som:

${dE \over dt}_{syst}={dQ \over dt}-{dW \over dt}={d \over dt}{\Big (}\int _{kv}{\mathit {e}}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}{\mathit {e}}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA$

där Q står för värme, W för arbete (alltså står ${dQ \over dt}={\dot {Q}}$ för överfört värme per tidsenhet och ${dW \over dt}={\dot {W}}$ för arbete per tidsenhet), kv för kontrollvolym och ky för kontrollyta. V är en hastighetsvektor och n är en enhetsvektor (negativ för inflöde och positiv för utflöde). e är summan av:

${\mathit {e}}={\mathit {e}}_{intern}+{\mathit {e}}_{kinetisk}+{\mathit {e}}_{potentiell}+{\mathit {e}}_{annan}$

Den sista termen övrig rör kemiska eller nukleära reaktioner alternativt magnetfält och är därför nästan alltid lika med noll. e kan då skrivas om med ${\hat {u}}$ som intern energi och längden z ritkad uppåt:

${\mathit {e}}={\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz$

Arbete per tidsenhet består av axelarbetet ${\dot {W}}_{s}$ , de viskösa spänningarnas arbete ${\dot {W}}_{v}$ samt tryckkrafternas arbete ${\dot {W}}_{p}$ . De två senare är:

${\dot {W}}_{p}=\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA$ ${\dot {W}}_{v}=-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA$

Där p är trycket i fluiden och $\mathbf {\tau }$ är spänningsvekorn. Alltså är arbetet (notera att de viskösa spänningarnas arbete är negativt):

${\dot {W}}={\dot {W}}_{s}+\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA$

Energiekvationen kan då skrivas om till:

${\dot {Q}}-{\dot {W}}_{s}-{\dot {W}}_{v}={d \over dt}{\Bigg [}\int _{kv}{\Big (}{\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho dV{\Bigg ]}+\int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA$

${\hat {h}}$ står för entalpi och definieras som ${\hat {h}}={\hat {u}}+{p \over \rho }$ .

Endimensionellt in- och utflöde

$\int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{ut}{\dot {m}}_{ut}-\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{in}{\dot {m}}_{in}$

Stationär strömning, ett endimensionellt inlopp samt ett endimensionellt utlopp

${\hat {h}}_{1}+{V_{1}^{2} \over 2}+gz_{1}={\hat {h}}_{2}+{V_{2}^{2} \over 2}+gz_{2}-q+w_{s}+w_{v}$

där $q={{\dot {q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{s}={{\dot {Q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{v}={{\dot {W}}_{v} \over {\dot {m}}}$

Se även