Euklides algoritm

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Euklides algoritm är en algoritm för att bestämma största gemensamma delare till två heltal. Det är en av de äldsta kända algoritmerna och beskrivs i Euklides Elementa. Algoritmen kräver inte att man kan dela upp talen i faktorer.

Algoritmen kan beskrivas på följande sätt:

  1. Två heltal a och b, där a > b är givna.
  2. Om b = 0 är algoritmen klar och svaret är a.
  3. I annat fall beräknas c, resten när man delat a med b.
  4. sätt a = b, b = c och börja om från steg 2 igen, (a får det värde b har och b får det värde c har).

Exempel 1[redigera | redigera wikitext]

Finn den största gemensamma delaren till 1071 och 1029.

Den största gemensamma delaren är alltså 21.

Kortare skrivet:

1071 = 1 · 1029 + 42
1029 = 24 · 42 + 21
42 = 2 · 21 + 0, så svaret är 21.

En snabb kontroll bekräftar att 1071 = 51 · 21 och 1029 = 49 · 21.

En följd av Euklides algoritm är att den största gemensamma delaren till två tal a,b kan skrivas som en linjärkombination av talen ax+by (x,y heltal). Genom att lösa ut resterna och köra algoritmen baklänges bestämmer man x och y. I exemplet ovan:

Detta kan användas vid lösning av den diofantiska ekvationen ax + by = c.

Exempel 2[redigera | redigera wikitext]

Nedan följer en alternativ metod som fungerar lika bra som ovan. Med funktionen frac menas decimaldelen av talet. Om så är och om , så är decimaldelen noll, dvs. .

Bevis för Euklides algoritm[redigera | redigera wikitext]

Euklides använde sig av ett så kallat motsägelsebevis. Han utgick från att det finns ett tal c som delar b och r, men inte a. Och att divisionen blir

Då måste alltså alla tal som delar r och b dela a

sgd(a, b)=sgd(b, r)

Exempel i Python[redigera | redigera wikitext]

def sgd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return sgd(b, a % b)

Generalisering av Euklides algoritm[redigera | redigera wikitext]

Euklides algoritm kan utvidgas till att operera på andra ringar än heltalen, som ovan. Ringar i vilka Euklides algoritm kan användas kallas Euklidiska ringar. Exempel på Euklidiska ringar är de Gaussiska heltalen och vissa polynomringar.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.