Felfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Felfunktionens graf

Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]

Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−xx].

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Grafer i det komplexa planet
Integranden exp(−z2)
erf(z)

Egenskapen innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är

där är det komplexa konjugatet av z.

Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.

Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.

Taylorserier[redigera | redigera wikitext]

Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.

Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av ez2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som

vilken gäller för varje komplext tal  z.

Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:

vilken gäller för varje komplext tal z.

Derivata och integral[redigera | redigera wikitext]

Felfunktionens deivata följer direkt från dess definition:

En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är

En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är

Högre derivator ges av

där är ett Hermitepolynom.[3]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
  2. ^ Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. ^ Wolfram MathWorld