Hermitepolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Hermitepolynomen, uppkallade efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite, är en uppsättning ortogonala polynom hemmahörande i Hilbertrummet L^2_{e^{x^2}}(\mathbb{R}). De betecknas Hn(x), där n är gradtalet. Med Rodrigues formel kan man generera det n-te polynomet.

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})

Hermitepolynomen är även lösningen till ett Sturm-Liouville-problem, nämligen

y''-2xy'+2ny=0

De elva första Hermitepolynomen är:

H_0(x)=1
H_1(x)=2x
H_2(x)=4x^2-2
H_3(x)=8x^3-12x
H_4(x)=16x^4-48x^2+12
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120
H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Differensekvation[redigera | redigera wikitext]

H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\!

Explicit formel[redigera | redigera wikitext]

 H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

H_n(0) = 
\begin{cases} 
  0,  & \mbox{om }n\mbox{ är udda} \\
  (-1)^{n/2} 2^{n/2} (n-1)!! , & \mbox{om }n\mbox{ är jämt} 
\end{cases}

Genererande funktion[redigera | redigera wikitext]

\exp (2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\!

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Multiplikationsteoremet:

{\mathit{H}}_n(\gamma x)=\sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \gamma^{n-2i}(\gamma^2-1)^i {n \choose 2i} \frac{(2i)!}{i!}{\mathit{H}}_{n-2i}(x)
H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right)
{\mathit{H}}_n^{(m)}(x)=2^m\cdot\frac{n!}{(n-m)!}\cdot{\mathit{H}}_{n-m}(x)=2^m \cdot m!\cdot{n \choose m}\cdot{\mathit{H}}_{n-m}(x)\,\!
H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\,\!

Relations till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynom[redigera | redigera wikitext]

Hermitepolynomen är relaterade till Laguerrepolynomen enligt

H_{2n}(x) = (-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2)=4^n\, n! \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n-\frac{1}{2} \choose n-i} \frac{x^{2i}}{i!}\,\!
H_{2n+1}(x) = 2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2)=2\cdot 4^n\, n! \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n+\frac{1}{2} \choose n-i} \frac{x^{2i+1}}{i!}\,\!.

Relation till generaliserade hypergeometriska serier[redigera | redigera wikitext]

H_{2n}(x) = (-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{n!}
\,_1F_1\left(-n,\frac{1}{2};x^2\right)
H_{2n+1}(x) = (-1)^{n}\,\frac{(2n+1)!}{n!}\,2x
\,_1F_1\left(-n,\frac{3}{2};x^2\right)

där \,_1F_1(a,b;z) är en generaliserad hypergeometrisk funktion.


Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.