Gauss konstant är en matematisk konstant betecknad G och definierad som reciproken till det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två ,
G
=
1
a
g
m
(
1
,
2
)
.
{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}.}
Dess decimalutveckling är (talföljd A014549 i OEIS )
0,8346268416740731862814297... och talet ges av kedjebråket (talföljd A053002 i OEIS )
[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...]. Konstanten har fått sitt namn efter Carl Friedrich Gauss som den 30 maj 1799 upptäckte att den är lika med
G
=
2
π
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
vilket relaterar den till lemniskatan . Konstanten kan användas för att definiera lemniskatekonstanterna som används för att ange båglängden av en lemniskata. Den första konstanten ges av
L
1
=
π
G
,
{\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G,}
den andra av
L
2
=
1
2
G
.
{\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}.}
Gauss konstant kan användas för att ange gammafunktionen av 1/4 med ett slutet uttryck,
Γ
(
1
4
)
=
2
G
2
π
3
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}
och eftersom π och Γ(1/4) är algebraiskt oberoende är Gauss konstant därmed ett transcendent tal . Gauss konstant är även lika med
G
=
2
π
B
(
1
4
,
1
4
)
{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\,\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)}
där Β betecknar betafunktionen . Ytterligare ett uttryck för G , i termer av thetafunktioner , är
G
=
ϑ
4
2
(
e
−
π
)
.
{\displaystyle G=\vartheta _{4}^{2}(e^{-\pi }).}
En snabbt konvergerande serie är
G
=
32
4
e
−
π
3
[
∑
n
=
−
∞
∞
−
1
n
e
−
2
n
π
(
3
n
+
1
)
]
2
.
{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }-1^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right]^{2}.}
Några andra serier är
G
=
π
2
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
2
1
2
5
k
{\displaystyle G={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}}
G
=
2
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
1
(
4
k
+
1
)
2
2
k
{\displaystyle G=2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}}
G
=
π
(
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
e
−
π
k
2
)
2
{\displaystyle G=\pi {\biggl (}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr )}^{2}}
log
G
=
1
2
γ
−
1
2
log
2
+
log
π
+
2
π
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
log
(
2
k
+
1
)
2
k
+
1
.
{\displaystyle \log G={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}\,.}
En oändlig produkt är
G
=
∏
m
=
1
∞
tanh
2
(
π
m
2
)
.
{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}
Några integraler är
1
G
=
∫
0
π
/
2
sin
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
/
2
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}
G
=
∫
0
∞
d
x
cosh
(
π
x
)
.
{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}.}
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }-1^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ba8e1414e7178f6113587da9450e15e7a9776f)
