Gauss konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Gauss konstant är en matematisk konstant betecknad G och definierad som reciproken till det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

 G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}.

Dess decimalutveckling är (talföljd A014549 i OEIS)

0,8346268416740731862814297...

och talet ges av kedjebråket (talföljd A053002 i OEIS)

[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Koppling till lemniskatan[redigera | redigera wikitext]

Konstanten har fått sitt namn efter Carl Friedrich Gauss som den 30 maj 1799 upptäckte att den är lika med

G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

vilket relaterar den till lemniskatan. Konstanten kan användas för att definiera lemniskatekonstanterna som används för att ange båglängden av en lemniskata. Den första konstanten ges av

 L_1\;=\;\pi G,

den andra av

 L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}.

Övriga samband[redigera | redigera wikitext]

Gauss konstant kan användas för att ange gammafunktionen av 1/4 med ett slutet uttryck,

 \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) = \sqrt{2G \sqrt{ 2\pi^3 } },

och eftersom π och Γ(1/4) är algebraiskt oberoende är Gauss konstant därmed ett transcendent tal. Gauss konstant är även lika med

 G = \frac{2}{\pi} \, \mathrm{\Beta} \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)

där Β betecknar betafunktionen. Ytterligare ett uttryck för G, i termer av thetafunktioner, är

G = \vartheta_4^2(e^{-\pi}).

En snabbt konvergerande serie är

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left [\sum_{n = -\infty}^{\infty} -1^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right ]^2.

Några andra serier är

G = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^{\!2} \frac{1}{2^{5k}}
G = 2 \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{1}{(4k+1) 2^{2k}}
G = \pi \biggl(\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k\,e^{-\pi k^2}\biggr)^2


\log G = \tfrac12\gamma - \tfrac12\log2 + \log\pi + \frac2{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\log(2k+1)}{2k+1}\,.

En oändlig produkt är

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

Några integraler är

 {\frac{1}{G}} = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos(x)}dx
 G = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}} .

Källor[redigera | redigera wikitext]