Betafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Betafunktionen är en speciell funktion som definieras som


 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!

om \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\,. Funktionen har studerats av Euler och Legendre.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Betafunktionen är symmetrisk:


 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\![1]

Den kan skrivas med flera ekvivalenta sätt:


 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\![1]

 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\![2]

 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\![2]

 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!

 \Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}



 \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}
\!.

Betafunktionen har flera intressanta egenskaper såsom:

\mathrm{\Beta}(x,y+1)={y \over x+y} \mathrm{\Beta}(x,y)

 \Beta(x,y) = \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y)
\!

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}
\!

 \Beta (x,x) = 2^{1 - 2 x} B\left(\frac12,x\right).
\!

Tillväxt[redigera | redigera wikitext]

För stora värden på x och y ger Stirlings formel

\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}

Om däremot x är stort och y fixerat är

\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.


Derivata[redigera | redigera wikitext]

Betafunktionens derivata är

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),

där \ \psi(x) är digammafunktionen.

Ofullständiga betafunktionen[redigera | redigera wikitext]

Ofullständiga betafunktionen definieras som

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

x = 1 blir den den ordinära betafunktionen.

Den regulariserade ofullständiga betafunktionen definieras som

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

För heltal a och b får man med partialintegration

 I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} \binom{a+b-1}{j} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

 I_0(a,b) = 0 \,
 I_1(a,b) = 1 \,
 I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,
 I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a B(a,b)} \, .

Källor[redigera | redigera wikitext]

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] Davis (1972) 6.2.2 p.258
  2. ^ [a b] Davis (1972) 6.2.1 p.258


Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.