Gruppverkan

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Gruppverkan är ett begrepp inom matematik som beskriver hur en grupps element verkar på en mängd. Genom en gruppverkan definierar varje element i en grupp en permutation (en bijektiv avbildning) av en mängd till sig själv.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En vänstergruppverkan av en grupp G på en mängd X är en avbildning från G × X till X, ofta skrivet

för g i G och x i X. (g, x) är alltså ett element i G × X och g.x är ett element i X. En vänstergruppverkan ska dessutom uppfylla följande villkor:

  • Verkan av det neutrala elementet e i G är identitetsavbildningen på X, dvs e.x = x för alla x i X.
  • Verkan av ett element g2g1.x är lika med verkan av g2g1x, dvs: g2.(g1.x) = (g2g1).x.

En högergruppverkan definieras likartat som en funktion från X × G till X så att

  • (x.g2).g1 = x.(g2g1).
  • x.e = x.

Skillnaden mellan en vänster- och högergruppverkan är i vilken ordningen en produkt g2g1 verkar på ett element x. För en vänstergruppverkan verkar g1 först, följt av g2. I en högergruppverkan verkar g2 först, följt av g1.

Varje högergruppverkan kan omvandlas till en vänstergruppverkan (och vice versa), därför kommer bara vänstergruppverkningar behandlas i resten av artikeln.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Den triviala verkan av en grupp G på en mängd x är den verkan där g.x = x för alla g i G.
  • En symmetrisk grupp verkar på sin underliggande mängd som permutationer.
  • Symmetrigruppen till en geometrisk figur verkar på mängden av punkter i figuren.
  • En automorfigrupp till exempelvis ett objekt (exempelvis ett vektorrum eller en graf) verkar på objektet.

Typer av gruppverkan[redigera | redigera wikitext]

En verkan av GX säges vara

  • Transitiv om X inte är tom och om för varje par av element x, y i X finns ett g i G så att g.x = y.
  • Trogen om det för alla par av distinkta element g1 och g2 finns ett element i x så att g1.x inte är lika med g2.x. Ett ekvivalent villkor är att det neutrala elementet i G är det enda element i G som har samtliga punkter i X som fixpunkter under gruppverkan.

Banor och stabilisatorer[redigera | redigera wikitext]

Låt G vara en grupp som verkar på en mängd X. Banan för ett element x i X är de punkter som kan nås från X med något element från G. Banan till x betecknas Gx eller OrbG(x):

Mängden av banor under verkan av G bildar en partition av X och en ekvivalensrelation ~ kan definieras genom att x ~ y om och endast om det finns ett g i G så att g.x = y. Banorna är då ekvivalensklasserna.

För varje element x i X kan man definiera stabilisatorn Gx till x under verkan av G:

.

Stabilisatorn till ett element x bildar en delgrupp till G.

Längden av en bana Gx är antalet sidoklasser i G relativt delgruppen Gx, Gx:s index.

Burnsides lemma säger att antalet banor för en ändlig grupp G är lika med

där Xg är mängden av fixpunkter i X till elementet g under gruppverkan.\

Referenser[redigera | redigera wikitext]