Heavisides expansionsregel är inom matematiken en metod för att bestämma koefficienter vid partialbråksuppdelning , uppkallad efter Oliver Heaviside .
Heavisides expansionsregel kan användas då faktorerna i nämnaren har formen
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}\,}
polynomdivision utföras.
Den vanliga ansatsen för ett sådant bråk är
P
(
x
)
(
x
−
a
)
n
=
A
0
(
x
−
a
)
n
+
A
1
(
x
−
a
)
n
−
1
+
⋯
+
A
n
−
1
x
−
a
.
{\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {A_{0}}{(x-a)^{n}}}+{\frac {A_{1}}{(x-a)^{n-1}}}+\cdots +{\frac {A_{n-1}}{x-a}}\,.}
För att bestämma den första koefficienten sätts
x
=
a
{\displaystyle x=a\,}
x
=
a
{\displaystyle x=a\,}
P
′
(
x
)
{\displaystyle P'(x)\,}
derivata .
Generellt gäller, för den k :te koefficienten:
A
k
=
1
k
!
d
k
d
x
k
(
(
x
−
a
)
n
P
(
x
)
)
|
x
=
a
=
P
(
k
)
(
a
)
k
!
.
{\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\,{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\bigl (}(x-a)^{n}P(x){\bigr )}{\bigg |}_{x=a}={\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}\,.}
Betrakta ett bråk där nämnarens gradtal är fyra. För ett sådant bråk gäller ansatsen
P
(
x
)
(
x
−
a
)
4
=
A
0
(
x
−
a
)
4
+
A
1
(
x
−
a
)
3
+
A
2
(
x
−
a
)
2
+
A
3
x
−
a
.
{\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)^{4}}}={\frac {A_{0}}{(x-a)^{4}}}+{\frac {A_{1}}{(x-a)^{3}}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+{\frac {A_{3}}{x-a}}.}
Börja med att multiplicera båda led med
(
x
−
a
)
4
{\displaystyle (x-a)^{4}}
P
(
x
)
=
A
0
+
A
1
(
x
−
a
)
+
A
2
(
x
−
a
)
2
+
A
3
(
x
−
a
)
3
.
{\displaystyle P(x)=A_{0}+A_{1}\left(x-a\right)+A_{2}\left(x-a\right)^{2}+A_{3}\left(x-a\right)^{3}.}
(1)
Koefficienterna
A
0
{\displaystyle A_{0}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
A
3
{\displaystyle A_{3}}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
Sätts
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
(
a
)
=
A
0
{\displaystyle P(a)=A_{0}\,}
För att få fram
A
1
{\displaystyle A_{1}}
x
{\displaystyle x}
P
′
(
x
)
=
A
1
+
2
A
2
(
x
−
a
)
+
3
A
3
(
x
−
a
)
2
{\displaystyle P'(x)=A_{1}+2A_{2}(x-a)+3A_{3}(x-a)^{2}\,}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
′
(
a
)
=
A
1
.
{\displaystyle P'(a)=A_{1}\,.\,}
Koefficienten
A
2
{\displaystyle A_{2}}
P
″
(
x
)
=
2
A
2
+
6
A
3
(
x
−
a
)
{\displaystyle P''(x)=2A_{2}+6A_{3}(x-a)\,}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
″
(
a
)
=
2
A
2
⇔
A
2
=
P
″
(
a
)
2
.
{\displaystyle P''(a)=2A_{2}\quad \Leftrightarrow \quad A_{2}={\frac {P''(a)}{2}}\,.}
Till slut, för att få
A
3
{\displaystyle A_{3}}
P
‴
(
x
)
=
6
A
3
{\displaystyle P'''(x)=6A_{3}\,}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
‴
(
a
)
=
6
A
3
⇔
A
3
=
P
‴
(
a
)
6
.
{\displaystyle P'''(a)=6A_{3}\quad \Leftrightarrow \quad A_{3}={\frac {P'''(a)}{6}}\,.}
