Laguerrepolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
De fem första Laguerrepolynomen för .

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet som svarar mot parametern , definierat enligt

där är ett reellt tal så att .

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet samt viktfunktionen .

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen respektive .

Olikheten för parametern som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:


Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen[redigera | redigera wikitext]

n
0
1
2
3
4
5
6

Alternativa definitioner[redigera | redigera wikitext]

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

En sluten formel är

Rodirgues formel för dem är

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • De första Laguerrepolynomen med parametern α är
  • Ln(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet
  • Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av
som kan sammanfattas som

där är Besselfunktionen.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

.

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

Dessutom är

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

En intressant identitet för heltal i och n är

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

Multiplikationsteorem[redigera | redigera wikitext]

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

och

Derivator[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

Dessutom gäller följande ekvation

som kan generaliseras till

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

Ortogonalitet[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

som följer ur


Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

där är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

och

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom[redigera | redigera wikitext]

Anta att funktionen f har serieexpansionen

Då är

Monom kan skrivas som

Binomialkoefficienterna har expansionen

som leder till formeln

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

En annan oändlig serie är

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
  • B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
  • Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.