Generaliserad hypergeometrisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Definiera Pochhammersymbolen:

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Serien 1F0[redigera | redigera wikitext]

Denna serie kan skrivas i sluten form som

Differentialekvationen för denna funktion är

eller

vars alla lösningar ges av

där k är en konstant.

Serien 0F1[redigera | redigera wikitext]

Funktioner av formen är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

Differentialekvationen för denna funktion är

eller

Serien 2F0[redigera | redigera wikitext]

Denna serie förekokmmer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien 3F1[redigera | redigera wikitext]

Denna serie förekommer i teorin av Besselfunktioner. Den kan användas till att räkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Eulers integraltransformation[redigera | redigera wikitext]

Fölkande identitet är väldigt användbar:

Differentiering[redigera | redigera wikitext]

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Saalschützs sats[redigera | redigera wikitext]

Dixons identitet[redigera | redigera wikitext]

Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:

Dougalls formel[redigera | redigera wikitext]

Dougalls formel är formeln

där m inte är ett icke-negativt heltal och

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2[redigera | redigera wikitext]

Identitet 1.

där

Identitet 2.

som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

.

Identitet 4.

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation[redigera | redigera wikitext]

Kummers relation är

Clausens formel[redigera | redigera wikitext]

Clausens formel

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Generalized hypergeometric function, 17 februari 2014.