Generaliserad hypergeometrisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Definiera Pochhammersymbolen:

\begin{align}
(a)_0 &= 1, \\
(a)_n &= a(a+1)(a+2)...(a+n-1), && n \geq 1.
\end{align}

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

\,{}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}.

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

\operatorname{Li}_2(x) = \sum_{n>0}\,{x^n}{n^{-2}} = x \; {}_3F_2(1,1,1;2,2;x)
Q_n(x;a,b,N)= {}_3F_2(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)\
p_n(t^2)=(a+b)_n(a+c)_n(a+d)_n \; {}_4F_3\left( \begin{matrix} -n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t \\ a+b&a+c&a+d \end{matrix} ;1\right)
L^{(\alpha)}_n(x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)
J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right ).

Serien 1F0[redigera | redigera wikitext]

Denna serie kan skrivas i sluten form som

{}_1F_0(a;;z) = (1-z)^{-a}.

Differentialekvationen för denna funktion är

\frac{d}{dz}w =\left  (z\frac{d}{dz}+a \right )w,

eller

(1-z)\frac{dw}{dz} = aw

vars alla lösningar ges av

w=k(1-z)^{-a}

där k är en konstant.

Serien 0F1[redigera | redigera wikitext]

Funktioner av formen {}_0F_1(;a;z) är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right ).

Differentialekvationen för denna funktion är

w = \left (z\frac{d}{dz}+a \right )\frac{dw}{dz}

eller

z\frac{d^2w}{dz^2}+a\frac{dw}{dz}-w = 0.

Serien 2F0[redigera | redigera wikitext]

Denna serie förekokmmer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien 3F1[redigera | redigera wikitext]

Denna serie förekommer i teorin av Besselfunktioner. Den kan användas till att räkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Eulers integraltransformation[redigera | redigera wikitext]

Fölkande identitet är väldigt användbar:

 {}_{A+1}F_{B+1}\left[ 
\begin{array}{c}
a_{1},\ldots ,a_{A},c \\ 
b_{1},\ldots ,b_{B},d
\end{array}
;z\right] =\frac{\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}
\int_{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{{}}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[ 
\begin{array}{c}
a_{1},\ldots ,a_{A} \\ 
b_{1},\ldots ,b_{B}
\end{array} ; tz\right]  dt.

Differentiering[redigera | redigera wikitext]

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

\begin{align}
\left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_j \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= a_j \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j+1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z\right] \\

\left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_k - 1 \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= (b_k - 1) \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k-1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] \\
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] &= \frac{\prod_{i=1}^p a_i}{\prod_{j=1}^q b_j}\; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1+1,\dots,a_p+1 \\ b_1+1,\dots,b_q+1 \end{array} ;z \right]
\end{align}

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:

z\prod_{n=1}^{p}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_n\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_n-1\right)w.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Saalschützs sats[redigera | redigera wikitext]

{}_3F_2 (a,b, -n;c, 1+a+b-c-n;1)= \frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}

Dixons identitet[redigera | redigera wikitext]

Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:

{}_3F_2 (a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)= \frac{\Gamma(1+\frac{a}{2})\Gamma(1+\frac{a}{2}-b-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+\frac{a}{2}-b)\Gamma(1+\frac{a}{2}-c)}.

Dougalls formel[redigera | redigera wikitext]

Dougalls formel är formeln

\begin{align}
{}_7F_6 & \left(\begin{matrix}a&1+\frac{a}{2}&b&c&d&e&-m\\&\frac{a}{2}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\ \end{matrix};1\right) = \\
&=\frac{(1+a)_m(1+a-b-c)_m(1+a-c-d)_m(1+a-b-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-b-c-d)_m}
\end{align}

där m inte är ett icke-negativt heltal och

1+2a=b+c+d+e-m.

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2[redigera | redigera wikitext]

Identitet 1.

e^{-x} \; {}_2F_2(a,1+d;c,d;x)= {}_2F_2(c-a-1,f+1;c,f;-x)

där

f=\frac{d(a-c+1)}{a-d}.

Identitet 2.

e^{-\frac x 2} \, {}_2F_2 \left(a, 1+b; 2a+1, b; x\right)= {}_0F_1 \left(;a+\tfrac{1}{2}; \tfrac {x^2} {16}\right) - \frac{x\left(1-\tfrac{2a} b\right)}{2(2a+1)}\; {}_0F_1 \left(;a+\tfrac 3 2; \tfrac {x^2} {16}\right)

som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

e^{-\frac x 2} \, {}_1F_1(a,2a,x)= {}_0F_1 \left (;a+\tfrac 1 2; \tfrac{x^2}{16} \right ).

Identitet 4.

\begin{align}
{}_2F_2(a,b;c,d;x)=& \sum_{i=0} \frac{{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}} \; {}_1F_1(a+i;c+i;x)\frac{x^i}{i!} \\
=& e^x \sum_{i=0} \frac{{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}} \; {}_1F_1(c-a;c+i;-x)\frac{x^i}{i!}
\end{align}

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation[redigera | redigera wikitext]

Kummers relation är

{}_2F_1\left(2a,2b;a+b+\tfrac 1 2;x\right)= {}_2F_1\left(a,b; a+b+\tfrac 1 2; 4x(1-x)\right).

Clausens formel[redigera | redigera wikitext]

Clausens formel

{}_3F_2(2c-2s-1, 2s, c-\tfrac 1 2; 2c-1, c; x)=\, {}_2F_1(c-s-\tfrac 1 2,s; c; x)^2

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Generalized hypergeometric function, 17 februari 2014.