Konstruktion av en icke-mätbar mängd

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mätbarhet.

Inom det matematiska området måtteori kan det visas att det finns mängder som inte kan tilldelas ett n-dimensionellt Lebesguemått på ett rimligt sätt. Dessa mängder saknar längd, area eller volym.

Denna artikel skall nu visa att ett sådant mått inte finns genom att konstruera en speciell mängd och härleda en motsägelse.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Vi skall konstruera en icke-mätbar delmängd av .

Vi börjar med att definiera en ekvivalensrelation genom att om och endast om är ett rationellt tal.

Låt vara en mängd som innehåller exakt ett element från varje ekvivalensklass. Urvalsaxiomet garanterar att vi kan konstruera på detta sätt. Vidare kan vi anta att . Vi skall visa att inte kan vara mätbar.

Låt för alla rationella tal

Det vill säga: är alla element i förflyttade en sträcka . Nu gör vi följande observationer:

  • och är translationer av varandra, så eftersom Lebesguemåttet är Haarmåttet,
  • r och s är olika rationella tal.
  • och

Eftersom är uppräknelig och Lebesguemåttet är sigma-additiv har vi

.

Eftersom summan inte är ändlig måste . Därför

vilket är en motsägelse. Därför N är icke Lebesguemätbar.

Nu vi vill konstruera icke-mätbar mängd i .

Låt

där N är icke-mätbar i .

Då gäller . Eftersom projektionen är kontinuerlig är den mätbar. Därför är icke-mätbar för alla där är en projektion.

Dessutom gäller

alltså är icke.mätbar eftersom mätbara mängder är en sigma-algebra.

Anmärkning[redigera | redigera wikitext]

Måttet antogs vara uppräkneligt (till skillnad från ändligt) additivt. Detta antagande behövs i 1 och 2 dimensioner. För 3 och flera dimensioner behöver inte vara uppräkneligt additiv för att icke-mätbara mängder skall existera. Detta visas till exempel av Banach-Tarskis paradox

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.