Kontraktionsavbildning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En avbildning kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet med metriken , om för alla ,

för en reell konstant .

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, och , som en avbildning där det finns ett k, , så att för alla i X:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt som är invariant under avbildning . Givet en avbildning , så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" , finns det en avbildning som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.