Kontraktionsavbildning

Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition

En avbildning $f:X\rightarrow X$ kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet $X$ med metriken $d$, om för alla $x,y\in X$,

$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$

för en reell konstant $0<k<1$.

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, $(X,d_{X})$ och $(Y,d_{Y})$, som en avbildning $f:X\to Y$ där det finns ett k, $0<k<1$, så att för alla $x_{1},x_{2}$ i X:

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq kd_{X}(x_{1},x_{2})$

Egenskaper

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt $x_{f}$ som är invariant under avbildning $f(x_{f})=x_{f}$. Givet en avbildning $f$, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten $x_{f}$ representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" $X$, finns det en avbildning $f(x)$ som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.