Liealgebra
En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad liebracket, som skrivs . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är liebracketen kommutatorn .
![{\displaystyle [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7bd6292c6023626c6358bfd3943a031b27d663)
![{\displaystyle [x,\,y]=xy-yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2e77d97756796e1e533402a34b6535baf5bb0)
Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.
Definition
En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → , som kallas liebracket, vilken uppfyller villkoren
- (1) Bilinjäritet:
- för alla a, b K och alla x, y, z .
![{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730cd19026c1c8b8b3ac4e918cad74872c023d23)
- (2) För alla x gäller:
![{\displaystyle [x,\,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1472eb79a21a69b75866131d12e2f464b1b4736)
- (3) Jacobiidentiteten:
- för alla x, y, z g.
![{\displaystyle [x,\,[y,\,z]]+[y,\,[z,\,x]]+[z,\,[x,\,y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5279316235c3c2f7ff8cf9d474c6958a8e1ace)
- (4) Antikommutativitet:
- Om bilinjäriteten används för att expandera liebracketen och med användande av villkor (2) går det att visa att för alla element x, y i , vilket implicerar
- Om bilinjäriteten används för att expandera liebracketen och med användande av villkor (2) går det att visa att för alla element x, y i , vilket implicerar
![{\displaystyle [x+y,\ x+y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cfd32ebb894e693a90a4c3bb76d63bf8c91f22)
![{\displaystyle [x,\ y]+[y,\ x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d01d7daccc1ef0ee20a63f7d34635db7e51725)
![{\displaystyle [x,y]=-[y,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70fcda86c14de45e211c3a9a889845038bb7348)
En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.
Observera också att multiplikationen som ges av liebracketen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, behöver inte vara lika med . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.
![{\displaystyle [[x,\,y],\,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0752f57cc089736b6ff0157d057560f5a73a0be8)
![{\displaystyle [x,\,[y,\,z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5cd349b14b77936961a474a4d0db5317ad34c2)
Exempel
Ett konkret exempel på en liealgebra är med vektorprodukt som bracketoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen som bracketoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
Se även
- Kvasiliealgebra
- Liealgebrakohomologi
- Lieabialgebra
- Liekoalgebra
- Liesuperalgebra
- Ortogonal symmetrisk Liealgebra
- Poissonalgebra
Referenser
- Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
- Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
- Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
- Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Kac, Victor G. et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
- Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
- http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:630755/FULLTEXT01.pdf
|
Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia. |