Liealgebra

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad liebracket, som skrivs . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är liebracketen kommutatorn .

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × gg, som kallas liebracket, vilken uppfyller villkoren

för alla a, b K och alla x, y, z g.
  • För alla x g gäller:
för alla x, y, z g.

Observera att första och andra egenskapen medför att

för alla x, y g ("antisymmetri"). Å andra sidan medför antisymmetri egenskap nummer 2 om det gäller att kroppen K inte är av karaktäristik 2. En Liealgebra med andra egenskapen utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av liebracketen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, behöver inte vara lika med . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett konkret exempel på en liealgebra är med vektorprodukt som bracketoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen som bracketoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.