Navier-Stokes ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Navier-Stokes ekvationer beskriver hur flöden beter sig. De har fått sitt namn från Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes.

För praktiska ändamål används vanligen förenklingar där en eller flera egenskaper antas vara konstanta.

En förutsättning för att ekvationerna ska vara giltiga är att flödet kan antas vara kontinuerligt. Det vill säga, de kan inte användas i de fall man måste ta hänsyn till att materian är uppbyggd av atomer och molekyler.

Navier-Stokes ekvationer består beroende på problemet av en till tre stycken ekvationer för bevarande av rörelsemängd:

\frac{\partial \rho u_i}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j}=\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} -\frac{\partial p}{\partial x_i}

I samband med Navier-Stokes ekvationer behövs mer information för att lösa flödesproblem, en är ekvationen för masskonserveration:

\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i}{\partial x_i}=0

samt en ekvation för bevarande av energin.

\frac{\partial \rho E}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i H}{\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_i}\right)+\frac{\partial u_i \tau_{ij}}{\partial x_j}

Där p är det lokala trycket och \tau_{ij} är den lokala spänningstensorn. För ideala, linjärt viskösa gaser gäller:

\tau_{ij}=\left(\mu\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right]-\delta_{ij}\left( \frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) \right)
p=\left(\gamma -1\right)\left(\rho E-\rho\bar{u}^2/2\right)

\gamma är en gaskonstant med typiskt värde 1.4 för vanliga gaser, \mu är fluidens viskositet och k är värmeledningsförmågan, vanligen betraktade som konstanter. Symbolen \delta_{ij} är identitetsmatrisen.

Ekvationerna är matematiskt svårhanterliga och en explicit lösning går bara att få fram för ett fåtal specialfall. Numeriska, approximativa lösningar beräknas däremot idag rutinmässigt av utvecklingsingenjörer inom industrin med hjälp av kraftfulla datorer och mjukvara kallad strömningslösare. Det antas att exakta lösningar existerar generellt, men detta har inte strikt bevistats ännu. Att strikt bevisa existensen av exakta lösningar till Navier-Stokes ekvationer är ett av matematikens millennieproblem[1].

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Feffermann: Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation