Navier-Stokes ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Navier-Stokes ekvationer beskriver hur flöden beter sig. De har fått sitt namn från Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes.

För praktiska ändamål används vanligen förenklingar där en eller flera egenskaper antas vara konstanta.

En förutsättning för att ekvationerna ska vara giltiga är att flödet kan antas vara kontinuerligt. Det vill säga, de kan inte användas i de fall man måste ta hänsyn till att materian är uppbyggd av atomer och molekyler.

Navier-Stokes ekvationer består av en ekvation för masskonserveration:

\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i}{\partial x_i}=0

och beroende på problemet en till tre stycken ekvationer för bevarande av rörelsemängd

\frac{\partial \rho u_i}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j}=\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} -\frac{\partial p}{\partial x_i}

samt en ekvation för bevarande av energin.

\frac{\partial \rho E}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i H}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_i}\right)+\frac{\partial u_i \tau_{ij}}{\partial x_j}

Där \tau_{ij} är spänningstensorn för linjärt viskösa gaser.

\tau_{ij}=\left(\mu\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right]-\delta_{ij}\left( \frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) \right)

Ekvationerna är matematiskt svårhanterliga och har endast lösts för begränsade specialfall. En mer allmän lösning är ett av matematikens millennieproblem[1].

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Feffermann: Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation