Rörelsemängd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Rörelsemängd
Billard.JPG
Med undantag mycket små förluster på grund av friktion och värmeöverföring är rörelsemängden konserverad i biljard såsom poolbiljard (break-off shot visas ovan). När en boll träffar en annan och stoppas har dess hela rörelsemängd i effekt överförts till den andra bollen. Om den emellertid avböjs istället för stoppas, är sedan dess rörelsemängd delad mellan de två bollarna.
Grundläggande
Definition Produkten av ett objekts massa och hastighet.
Storhetssymbol(er)
Enheter
SI-enhet N·s
kg·m·s−1
SI-dimension M·L·T–1

Inom klassisk mekanik, definieras rörelsemängden (SI-enhet kg·m/s) som produkten av ett objekts massa och hastighet.

I allmänhet kan rörelsemängden uppfattas som ett mått på hur svårt det är att ändra ett objekts rörelsetillstånd, bestämt av två faktorer: dess massa och dess hastighet. Detta kan ses som en naturlig konsekvens av Newtons första lag och Newtons andra lag. Reducerad hastighet eller massa resulterar i mindre rörelsemängd och omvänt.

Rörelsemängd är en bevarad kvantitet i den betydelsen att den totala rörelsemängden för ett slutet system (ett som inte påverkas av yttre krafter) inte kan ändras.

Rörelsemängd inom klassisk mekanik[redigera | redigera wikitext]

Om ett objekt rör sig i en referensram så har det en rörelsemängd i denna ram. Det är viktigt att notera att rörelsemängden beror av referensramen. Ett objekt har en viss rörelsemängd relativt en fast punkt på marken medan det har rörelsemängden 0 i en referensram som är förbunden med objektet (en referensram i vilket objektet är i vila).

Den rörelsemängd ett objekt har beror av två fysikaliska kvantiteter: massan och hastigheten för objektet i referensramen.

Rörelsemängd betecknas vanligen med och är en vektor och rörelsemängden kan då skrivas

där:

är rörelsemängden (vektor)
är massan (skalär)
är hastigheten (vektor)

Rörelsemängd för ett system[redigera | redigera wikitext]

System av massa och hastighet[redigera | redigera wikitext]

Rörelsemängden för ett system av objekt är den vektoriella summan av alla objekts rörelsemängd för de objekt som tillhör systemet.

där

är rörelsemängden
är massan av ett objekt i systemet
är den vektoriella hastigheten för ett objekt i systemet
är antalet objekt i systemet

System av krafter[redigera | redigera wikitext]

Kraft är lika med rörelsemängdens ändringshastighet:

.

I fallet med konstant massa och hastigheter mycket lägre än ljushastigheten kan vi skriva , vanligtvis känd som Newtons andra lag.

Bevarande av rörelsemängd[redigera | redigera wikitext]

Principen om bevarande av rörelsemängd innebär att den totala rörelsemängden för ett slutet system av objekt (vilka inte har några interaktioner med yttre objekt) är konstant. En av konsekvenserna av detta är att ett systems tyngdpunkt alltid rör sig med samma hastighet och riktning om det inte utsätts för påverkan utifrån.

Rörelsemängdens bevarande är enligt Noethers sats en konsekvens av rymdens homogenitet (translationsinvarians). I ett isolerat system är rörelsemängden konstant: detta impliceras av Newtons första lag. Newtons tredje lag: lagen om ömsesidig verkan; krafter som verkar mellan system är lika till storlek men med motsatta tecken beror på rörelsemängdens bevarande.

Då rörelsemängd är en vektor har rörelsemängd riktning. När ett gevär avfyras uppstår rörelser i systemet men kulans rörelsemängd i ena riktningen är lika till storlek men med omvänt tecken i förhållande till gevärets rörelsemängd i den andra riktningen. Summan av gevärets och kulans rörelsemängder blir då noll, det vill säga det samma som för systemet innan kulan avlossades.

Elastiska kollisioner[redigera | redigera wikitext]

En kollision mellan biljardbollar är ett bra exempel på en nästan helt elastisk kollision. Förutom att rörelsemängdsmomentet är bevarat när de två bollarna kolliderar så är den totala kinetiska energin före och efter kollisionen densamma (f = före, e = efter):

Oelastiska kollisioner[redigera | redigera wikitext]

Ett exempel på en oelastisk kollision är när två snöbollar kolliderar och bildar en enda massa. Vi kan sätta upp en ekvation som beskriver bevarandet av rörelsemängden efter kollisionen:

Det går att visa att en fullständigt oelastisk kollision är en i vilken maximal mängd kinetisk energi omvandlas i andra former. Om de båda objekten häftar vid varandra efter kollisionen och rör sig med en slutgiltig och gemensam hastighet, går det alltid att finna en referensram i vilken objekten bringas till vila efter kollisionen och all kinetisk energi är konverterad. Detta är sant även i det relativistiska fallet och används i partikelacceleratorer för att effektivt konvertera kinetisk energi till nya partiklar.

Moderna definitioner av rörelsemängd[redigera | redigera wikitext]

Rörelsemängd inom relativistisk mekanik[redigera | redigera wikitext]

som funktion av

Inom relativistisk mekanik definieras rörelsemängd som

där

är den invarianta massan av det rörliga objektet
är Lorentzfaktorn
är den relativa hastigheten mellan objektet och en observatör
är ljusets hastighet

Relativistisk rörelsemängd övergår till newtonsk rörelsemängd vid låga hastigheter .

Den relativistiska 4-rörelsemängd som den föreslogs av Albert Einstein är invariant under Lorentztransformationen. 4-rörelsemängden definieras som vektorn

där

betecknar den relativistiska rörelsemängdens komponenter,
är systemets totala energi:

Enligt det sätt som beloppet hos 4-vektorer beräknas på är 4-rörelsemängdens belopp lika med massan gånger ljusets hastighet, vilken är invariant med avseende på alla referensramar:

Rörelsemängd för masslösa objekt[redigera | redigera wikitext]

Masslösa objekt sådana som en foton har också rörelsemängd:

där

är Plancks konstant,
är fotonens våglängd,
är fotonens energi och
är ljusets hastighet.

Rörelsemängd inom kvantmekanik[redigera | redigera wikitext]

Inom kvantmekaniken är rörelsemängd definierad som en operator för vågfunktionen. Heisenbergs osäkerhetsprincip definierar gränser för hur noggrant rörelsemängd och position för ett observerat system kan bestämmas samtidigt. Inom kvantmekanik är position och rörelsemängd konjugerade variabler.

För en enstaka partikel som inte påverkas av en magnetisk potential kan rörelsemängdoperatorn skrivas

där är gradientoperatorn, är Diracs konstant och är den imaginära enheten.

Impuls[redigera | redigera wikitext]

Impuls
Grundläggande
Definition Produkten av en kraft och tiden för vilken den verkar
Storhetssymbol(er) J, Imp[1]
Enheter
SI-enhet N · s = kg · m/s

En impuls ändrar rörelsemängden för ett objekt. En impuls beräknas som integralen av kraft med avseende på tid där integrationsintervallet är impulsens varaktighet:

erhålls

Specifik impuls[redigera | redigera wikitext]

Inom rymdfart används begreppet specifik impuls, Isp. Enkelt uttryckt är det ett mått på hur mycket kraft ett raketbränsle kan ge. Det är dock viktigt att tänka på att detta inte säger något om effektiviteten hos bränslet, alltså kraft per viktenhet.

Den specifika impulsen definieras som det förgasade bränslets utströmningshastighet dividerad med jordaccelerationen g och mäts i sekunder[2]. Alternativ beskrivning är att det är förhållandet mellan dragkraften F/g och massutflödet dm/dt. Massutflödet, eller det förgasade bränslets utströmningshastighet, påverkas inte bara av bränslet i sig utan också av raketmotorns utformning.

Ytterligare en beskrivning av Isp är att det är den totala impulsen per viktenhet förbränt bränsle[3]:

Vid konstant dragkraft och utströmningshastighet kan detta förenklas till:

Typiska värden på Isp i sekunder för olika raketbränslen:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Beer, F.P., E.R. Johnston, Jr., D.F. Mazurek, P.J. Cornwell, and E.R. Eisenberg. (2010). Vector Mechanics for Engineers; Statics and Dynamics. 9th ed. Toronto: McGraw-Hill.
  2. ^ Geostationära Nyttosatelliter, ISBN 91-44-28021-1
  3. ^ Spacecraft Systems Engineering, ISBN 0-471-95220-6