Oktonion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Oktonionerna är en icke-associativ utvidgning av kvaternionerna. De upptäcktes av John T. Graves år 1843, och oberoende av Arthur Cayley, som 1845 publicerade det första arbetet om dem.

De kallas ibland Cayleytal eller Cayleys algebra.

Mängden av oktonioner betecknas 𝕆 eller O.

Oktonionerna bildar en 8-dimensionell algebra över de reella talen, och kan därför ses som oktetter av reella tal.

Varje oktonion är en reell linjärkombination av enhetsoktonionerna 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 och e7, vars multiplikationstabell ser ut som följer.

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 -1 e4 e7 -e2 e6 -e5 -e3
e2 e2 -e4 -1 e5 e1 -e3 e7 -e6
e3 e3 -e7 -e5 -1 e6 e2 -e4 e1
e4 e4 e2 -e1 -e6 -1 e7 e3 -e5
e5 e5 -e6 e3 -e2 -e7 -1 e1 e4
e6 e6 e5 -e7 e4 -e3 -e1 -1 e2
e7 e7 e3 e6 -e1 e5 -e4 -e2 -1


Multiplicering mellan två olika enhetsoktonioner (≠ 1) kan visualiseras med följande schema.

Oktonionstjärna

Octonionstar.png

Sök triangeln där enheterna är i hörn.

Deras produkt i riktningen för pilen ger triangels tredje enhet och produkt i motsatta riktningen ger minus tredje enhet.

Exempel: e4e6= e3 och e6e4 = -e3.


Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Oktonionmultiplikation är inte kommutativt

om

och inte heller associativt

om är distinkta och inte noll.

Oktonionerna har dock en svagare egenskap: delalgebran genererad av vilka som helst två oktonioner är associativt. Det går även att visa delalgebran genererad av vilka som helst två element av O är isomorfisk till R, C eller H, av vilka alla är associativa. Eftersom oktonionerna är oassociativa har de inte en matrisrepresentation, tvärtemot kvaternionerna. Oktonionerna satisfierar en viktig egenskap som R, C och H delar på: normen av O satisfierar

Av det här följer att oktonionerna bildar en oassociativ normerad divisionalgebra. Algebror med högre dimension definierade med hjälp av Cayley–Dicksons konstruktion (såsom sedenionerna) saknar den egenskapen.

Man kan visa att de enda normerade divisionalgebrorna över R är R, C, H och O.

De nollskilda elementen av O bildar inte en grupp eftersom de inte är associativa. De bildar dock en loop, och även en Moufangloop.

Tryckta källor[redigera | redigera wikitext]

Lahti, Usko (20.3.2015), Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskelijoiden seurassa., Helsinki: Books on Demand, ISBN 978-952-318-558-6 


Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.