Naturliga tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.

De naturliga talen är de heltal som är icke-negativa {0, 1, 2, 3, 4, …}, alternativt de heltal som är positiva {1, 2, 3, 4, …}. Den förra definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).[1][2]

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.

En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).

För att undvika förvirring kan ℤ+ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ0 för de icke-negativa.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

De naturliga talen kan konstrueras med Peanos axiom, det är även möjligt att konstruera dem utifrån mängdlära:

Låt 0 = ∅ = {}, den tomma mängden.

Definiera, för varje mängd a, funktionen S(a) = a ∪ {a} som ger efterföljaren till a. Symbolen ∪ representerar union.

Om oändlighetsaxiomet gäller så existerar de naturliga talen och är snittet av alla mängder X som innehåller 0 och är slutna för S, dvs:

a \in X \Rightarrow S(a) \in X.

Denna mängd uppfyller Peanos axiom.

Ett naturligt tal kommer då vara mängden av alla tal som är mindre det:

  •  0 = \{\}\,
  •  1 = \{0\} = \{ \{ \} \}\,
  •  2 = \{0,1\} = \{ \{ \}, \{ \{ \} \} \}\,
  •  n = \{0,1,2,...,n-1\} = \{0,1,2,..,n-2\} \cup \{n-1\} = (n-1) \cup \{n-1\}

då mängden n kommer att ha n element och n är mindre än eller lika med m om och endast om n är en delmängd till m.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”Talområden och funktioner”. http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/gkanalys/GKAkapitel1.pdf. Läst 18 september 2013.  Noia 64 mimetypes pdf.png PDF
  2. ^ ”1.1 Olika typer av tal”. http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/1.1_Olika_typer_av_tal. Läst 18 september 2013. 

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.