Linjärkombination

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande områden.

Om en vektor \mathbf{u} i ett linjärt rum \ L kan skrivas

\mathbf{u} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2+\dots + c_n\mathbf{v}_n

där \ c_1, c_2,\dots, c_n är skalärer, är \mathbf{u} en linjärkombination av elementen \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vektorer[redigera | redigera wikitext]

En vektor kan delas upp i komponenter med hjälp av en linjärkombination. Till exempel

\,(a_1,a_2,a_3)=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1)

Funktioner[redigera | redigera wikitext]

Funktioner kan skrivas om i andra funktioner med hjälp av linjärkombination. Ett par enkla exempel är

  • \ \cos x=\frac{1}{2}e^{ix}+\frac{1}{2}e^{-ix}
  • \ e^{ix}=\cos x+i\sin x

Polynom[redigera | redigera wikitext]

Om vi väljer

\ v_1=(x^2,0,0), v_2=(0,x,0), v_3=(0,0,1)

så kan vi skriva

\ x^2-2x+3=(x^2,0,0)-2(0,x,0)+3(0,0,1)=v_1-2v_2+3v_3

Linjärt hölje[redigera | redigera wikitext]

Mängden av alla linjärkombinationer av en given familj vektorer kallas ett linjärt hölje. Låt v_1,\, v_2,..., v_n vara vektorer i något vektorrum V och a_1,\, a_2,..., a_n skalärer i någon skalärkropp, K. Då är det linjära höljet

\ [v_1, v_2,..., v_n]=\{ a_1v_1+a_2v_2+... + a_nv_n:a_1,a_2,...,a_n\epsilon K\}.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.