Riemann-Stieltjes integral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Riemann-Stieltjes integral, även kallad Stieltjesintegral, är inom matematisk analys en speciell integral, som kan ses som en generalisering av Riemannintegralen, uppkallad efter matematikern Thomas Joannes Stieltjes. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till -axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.

Definition och existens[redigera | redigera wikitext]

Konstruktion av integralen[redigera | redigera wikitext]

Ett intervall av reella tal kallat kan delas in i flera delintervall med en partition, , som består av ändligt många punkter sådana att

.

För två begränsade funktioner på intervallet, och inför vi differensoperatorn:

.

är begränsad på kan vi hitta ett supremum respektive infimum för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:

Vi får nu två summor, beroende på partitionen och funktionerna samt :

(då ).

Låt vidare vara mängden av alla partitioner av och om

säger man att integralen existerar, vilket betecknas med , och betecknar värdet med:

eller .

Om man väljer fås den vanliga Riemannintegralen.

Existens med epsilon[redigera | redigera wikitext]

om och endast om det för varje existerar en partition så att

.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För strängt ökande och och har integralen följande egenskaper:

  • och .
  • och .
  • Om är .
  • Om är

Om och är strängt ökande och och och så:

  • .

Om även är kontinuerlig på hela existerar det även så att:

vilket kallas medelvärdesegenskapen.

Om är strängt ökande och kontinuerlig deriverbar på och är

.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Riemann-Stieltjes integral kan användas till att räkna ut väntevärdet för en kumulativ fördelningsfunktion med diskret fördelning.