Satsen om isolerade nollställen

Satsen om isolerade nollställen är en sats inom komplex analys som säger att om $U$ är en sammanhängande mängd och $f:U\rightarrow {}\mathbb {C}$ är en icke-konstant holomorf funktion så har $f$ isolerade nollställen.

Bevis

Antag att $f$ har ett icke-isolerat nollställe. Låt $V\subseteq {}U$ vara mängden av alla $z$ sådana att $f$ är konstant $0$ i en omgivning av $z$. $V$ är trivialt öppen. Låt $z_{0}$ tillhöra det slutna höljet av $V$. Eftersom $f$ är holomorf och därmed kontinuerlig följer det att $f(z_{0})=0$. Antag vidare att $f$ inte är konstant $0$ i någon omgivning av $z_{0}$. Eftersom $f$ är holomorf i $z_{0}$ är den även analytisk här och vi kan uttrycka $f$ som

$\sum _{n=1}^{\infty {}}a_{n}(z-z_{0})^{n}$

i en omgivning av $z_{0}$. Vi måste dessutom ha åtminstone ett $a_{n}$ som är skiljt från $0$ eftersom $f$ annars mot antagandet skulle vara konstant $0$ här. Alltså får vi

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty {}}a_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty {}}a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{m}(z-z_{0})^{m}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty {}}b_{n}(z-z_{0})^{n}\right)=a_{m}(z-z_{0})^{m}(1+h(z))$

där $a_{m}\neq {}0$ och $h$ är en holomorf funktion i en omgivning av $z_{0}$. Eftersom $h(z_{0})=0$, och $h$ är kontinuerlig så är $1+h(z)\neq {}0$ för $z$ i en omgivning av $z_{0}$. För $z$ i denna omgivning utom $z_{0}$ är även $a_{m}(z-z_{0})^{m}$ nollskiljt, och det följer att det enda nollstället för $f$ i denna omgivning är $z_{0}$ eftersom $f(z)=a_{m}(z-z_{0})^{m}(1+h(z))$. Detta motsäger antagandet att $z_{0}$ tillhör det slutna höljet av $V$ och därför är $f$ konstant $0$ i en omgivning av $z_{0}$ och det följer att $z_{0}\in {}V$. Mängden $V$ är alltså både öppen och stängd och enligt argumentet ovan måste $V$ innehålla det icke-isolerade nollstället enligt antagandet. Det följer nu eftersom $V$ inte är tom, att $V=U$ och att $f$ är konstant $0$.