Visa källa för Serie (matematik)

En '''serie''' är inom matematiken en [[addition]] av ett oändligt antal [[term (matematik)|termer]].<ref name="P-B" /><ref name="ELW" />

Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig, även om antalet termer är oändligt. Man säger då att den [[Konvergens (matematik)|konvergerar]].

Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.

==Definition==
En series summa definieras som [[gränsvärde]]t av ett antal delsummor. För en oändlig talföljd ''a<sub>n</sub>'' definieras summan av serien Σ''<sub>n</sub>a<sub>n</sub>'' som<ref name="P-B" /><ref name="ELW" />
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^k a_n</math>
där 
:<math>s_k=\sum_{n=0}^k a_n</math>
är en delsumma. Om gränsvärdet inte existerar sägs serien divergera.

Ett exempel är talföljden ''a<sub>n</sub>''=1/2<sup>''n''</sup>, som har delsummor ''s''<sub>0</sub>=1; ''s''<sub>1</sub>=1+0,5=1,5; ''s''<sub>2</sub>=1+0,5+0,25=1,75...; man kan visa att ''s<sub>k</sub>''=2-1/2<sup>''k''</sup>  och att den tillhörande serien därmed konvergerar
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=2</math>

Det finns serier som är divergenta i den vanliga meningen men ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas [[Cesàrosummering]], [[Abelsummering]] och [[Borelsummering]]. Även [[analytisk fortsättning]] kan användas för att tilldela serier summor.

== Se även ==
* [[Fourierserie]]
* [[Teleskoperande serie]]
* [[Harmoniska serien]]
* [[Potensserie]]

== Referenser och noter ==
<references>
<ref name="P-B">
{{bokref|efternamn=Persson|förnamn=Arne|medförfattare=Böiers, Lars-Christer|titel=Analys i en variabel|utgåva=2. uppl.|år=2001|utgivare=Studentlitteratur|utgivningsort=Lund|isbn=9144020562|libris=8353145|sid=170-171}}</ref>
<ref name="ELW">
{{bokref|efternamn=Eriksson|förnamn=Folke|medförfattare=Larsson, Eric; Wahde, Gösta|titel=Matematisk analys med tillämpningar, Del 3|utgåva=2. [rev.] uppl.|år=1996|utgivningsort=Göteborg|libris=1887836|sid=44-45}}
</ref>
</references>

==Vidare läsning==
* {{bokref
|efternamn=Persson
|förnamn=Arne
|medförfattare=Böiers Lars-Christer
|titel=Analys i en variabel
|utgåva=2. uppl.
|år=2001
|utgivare=Studentlitteratur
|utgivningsort=Lund
|språk=swe
|isbn=9144020562
|libris=8353145
}}
* {{bokref
|efternamn=Spanne
|förnamn=Sven
|titel=System och transformer. I, Tidsdiskreta lineära system och komplex analys
|år=2005
|utgivare=Matematikcentrum, Lunds tekniska högskola
|utgivningsort=Lund
|språk=swe
|libris=10303365
}}

{{Serier och följder}}

[[Kategori:Matematiska serier| ]]
[[Kategori:Matematisk analys]]