Stirlings formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝1023, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Det formaliseras av

\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1

vilket ofta uttrycks som

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}

(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 1032 medan det verkliga värdet är 2,6525 · 1032.

Men det kan även uttryckas som

\ln n! = n\ln n - n +\frac{1}{2} \ln n + \frac{1}{2} \ln (2\pi) + O(\frac{1}{N}),

eller om n >> ln n,

\ln n! \approx n\ln n -n.

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda Stirlings formel kan man visa att

n^n \ge n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}.

Konvergeringshastighet och feluppskattningar[redigera | redigera wikitext]

Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln

n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1 + \Theta\left(\frac{1}{n}\right)\right)

där Θ(1/n) betecknar funktionen vart asymptotiska beteende för n→∞ och motsvarar konstant tid 1/n; se Big O notation.

Eller mer exakt:

n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}

där

\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form

\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right).

(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral
\ln (n!) = \sum_{p = 1}^{n}\ln p \rightarrow \int_{1}^{n} \ln p\, dp = n\ln n -n + 1.)

Historia[redigera | redigera wikitext]

Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen

n!\sim [{\rm konstant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}.

Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är \sqrt{2\pi}.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Stirling.pdf