Stirlings formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝1023, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas

vilket ofta uttrycks som

(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 1032 medan det verkliga värdet är 2,6525 · 1032.

Formeln kan även uttryckas som

eller om n >> ln n,

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda Stirlings formel kan man visa att

Konvergeringshastighet och feluppskattningar[redigera | redigera wikitext]

Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln

där Θ(1/n) betecknar funktionen vart asymptotiska beteende för n→∞ och motsvarar konstant tid 1/n; se Big O notation.

Eller mer exakt:

där

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form

(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral

Historia[redigera | redigera wikitext]

Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen

Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]