Euler-Maclaurins formel

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Euler-Maclaurins formel, (i viss litteratur även kallad Eulers formel), ger inom numerisk analys ett starkt samband mellan integraler och summor. Den kan användas för att approximera svårhanterliga integraler med finita summor men även för att evaluera finita summor samt oändliga serier med hjälp av lättare hanterliga integraler och analys.

Formeln fanns både av Leonhard Euler och Colin Maclaurin oberoende av varandra runt 1735. Euler behövde formeln för att beräkna långsamt konvergerande serier, medan Maclaurin använde den för att beräkna integraler.

Formeln[redigera | redigera wikitext]

Euler-Maclaurins formel utgör en viktig del inom den numeriska analysen. Formeln ger en approximation av summan

genom integralen

med en felterm som ges av en integral innefattande Bernoullital.

För en kontinuerlig, k gånger deriverbar, funktion skrives formeln på generell form

där och är godtyckliga reella tal vars differens är ett positivt heltal, är Bernoullital, och ett godtycklig heltal.

Formeln kan även appliceras på oändliga summor och skrivs då

.

Appliceringar[redigera | redigera wikitext]

Baselproblemet[redigera | redigera wikitext]

Baselproblemet handlar om att finna konvergensvärdet för summan

.

Euler lyckades beräkna summan till 20 rätta decimaler med hjälp av Euler-Maclaurins formel 1735. Från sitt resultat kunde troligtvis Euler dra slutsatsen att summan är lika med , en slutsats han sedan formellt bevisade senare samma år.[1]

Euler-Mascheronis konstant[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av Euler-Maclaurins formel så kan Euler-Mascheronis konstant

numeriskt approximeras med hög precision.

Stirlings formel[redigera | redigera wikitext]

Stirlings formel är en mycket effektiv formel för att approximera fakulteter kan härledas med hjälp av Euler-Maclaurins formel. Formeln skrivs ofta som

eller alternativt som

.

Stirlings formel har breda tillämpningsområden både inom ren- och tillämpad matematik, bland annat för att numeriskt approximera Gamma- samt Betafunktionerna. Stirlings formel kan även tillämpas inom den statistiska mekaniken.[2]

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Preliminära definitioner[redigera | redigera wikitext]

Bernoullitalen är rationella tal som kan definieras som koefficienterna i följande potensserie

Låt beteckna differentialoperatorn som avbildar en funktion till dess derivata

samt låt beteckna skiftoperatorn

En viktig relation mellan differentialoperatorn och skiftoperatorn

gäller då båda sidorna appliceras till reella analytiska funktioner, för godtyckligt små [3] .

Relationen visas genom att Taylorutveckla

[4]

Applicering av operatorer[redigera | redigera wikitext]

Vi börjar nu med att skriva vänsterledet i Euler-Maclaurins formel som

, där

Genom att använda relationen mellan differentialoperatorn och skiftoperatorn samt formeln för geometrisk summa fås

Genom att använda genererande ekvationen för Bernoullital, samt ersätta med differentialoperatorn fås

.

Vilket leder oss till Euler-Maclaurins formel för oändlig summa

Q.E.D

Formeln för finita summor[redigera | redigera wikitext]

Euler-Maclaurins formel för finita summor kan härledas via den nyss funna formeln för oändliga summor.

Vi börjar först med att manipulera en godtycklig finit summa till att få samma struktur som den i ovan funna formeln.

Enligt nyss funna Euler-Maclaurins formel för oändliga summor, kan summorna skrivas om som

vilket efter omskrivning visar sig vara formeln vi söker

Q.E.D [5]

Referenser[redigera | redigera wikitext]