Väsentligt supremum och väsentligt infimum

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Väsentligt supremum)
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori.

Bakgrund[redigera | redigera wikitext]

Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att nollmängder inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen är definierad som

så är

men för alla

.

Det vill säga att det finns bara en punkt där . Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för f är 100. Man får ingen informationen från talet 100. nästan överallt i , så att det "väsentliga" supremumet för f borde vara 1. Så man definierar väsentliga supremumet för f till 1. På likartat sätt definieras väsentligt infimum.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett måttrum och en mätbar funktion .

Väsentligt supremum för f är det minsta reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller är en nollmängd:

Väsentligt infimum för f är det största reella tal r så att mängden av alla x i X som uppfyller är en nollmängd:

Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig").

Koppling till vanligt supremum och infimum[redigera | redigera wikitext]

Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att supremum för mätbara funktionen är det minsta reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller är tom:

och infimum för f är det största reella tal r så att mängden av x i X som uppfyller är tom:

Därför

eftersom

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Väsentligt supremum har många tillämpningar inom måtteori och funktionalanalys.

Norm[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Supremumnormen.

Med väsentligt supremum kan man definiera en norm som kallas väsentlig supremumnorm.

-rum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Lp-rum.

Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet väsentligt begränsad funktion, dvs rummet .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.