Webers modulära funktioner

Inom matematiken är Webers modulära funktioner en familj av tre modulära funktioner f, f₁ och f₂, studerade av Heinrich Weber.

Definition

Låt $q=e^{2\pi i\tau }$ där τ är ett komplext tal i övre planhalvan. Då definieras Webers funktioner som

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-1/48}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})=e^{-2\pi i/48}{\frac {\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}(\tau +1){\big )}}{\eta (\tau )}}={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}\tau {\big )}\eta (2\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-1/48}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}\tau {\big )}}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{1/24}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\sqrt {2}}\,{\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\end{aligned}}$

där η(τ) är Dedekinds etafunktion. Notera att direkt av definitionerna följer att

${\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}$

Transformationen τ → –1/τ fixerar f och utbyter f₁ och f₂.

Relation till Jacobis thetafunktioner

Låt argumenten av Jacobis thetafunktioner vara $q=e^{\pi i\tau }$. Då är

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{3}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{4}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{2}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\\end{aligned}}$

Av detta följer

${\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{8}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{8}={\mathfrak {f}}(\tau )^{8}$

som är en enkel konsekvens av den välkända identiteten

$\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{4}(0,q)^{4}=\theta _{3}(0,q)^{4}.$

Relation till j-invarianten

De tre rötterna av den kubiska ekvationen

$j(\tau )={\frac {(x+16)^{3}}{x}},$

där j(τ) är j-invarianten, ges av $x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24}och{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}$. Eftersom

$j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(0,q)^{8}+\theta _{3}(0,q)^{8}+\theta _{4}(0,q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q)\theta _{4}(0,q){\Big )}^{8}}}$

är också

$j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weber modular function, 9 mars 2014.

• Weber, Heinrich Martin (1981) [1898] (på tyska), Lehrbuch der Algebra, "3" (3rd), New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4, http://www.archive.org/details/lehrbuchderalgeb03webeuoft 
• Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), ”On the singular values of Weber modular functions” (på engelska), Mathematics of Computation 66: 1645–1662, doi:10.1090/S0025-5718-97-00854-5,