Jacobis thetafunktioner

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Jacobis ursprungliga thetafunktion med och . Konventionerna är (Mathematica): detta är:

Inom matematiken är Jacobis thetafunktioner speciella funktioner av flera komplexa variabler. De är viktiga inom flera delar av matematiken, såsom teorierna av abelska varieteter, modulrum och kvadratiska former. De har även använts inom solitonsteori. Då de generaliseras till en yttre algebra förekommer de även i kvantfältteori.

Jacobis thetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera nära relaterade funktioner som kallas för Jacobis thetafunktioner och flera olika beteckningssystem för dem. En Jacobis thetafunktion (uppkallad efter Carl Gustav Jacob Jacobi) är en funktion definierad för två komplexa variabler z och τ, där z är godtyckligt och τ är i övre planhalvan, vilket betyder att den har positiv imaginär del. Funktionen ges av formeln

där q = exp(πiτ) och η = exp(2πiz). Den är en Jacobiform. Om τ är fixerat blir detta en Fourierserie för en periodisk analytisk funktion av z med period 1; i detta fall satisfierar thetafunktionen identiteten

Funktionen är även väldigt regelbunden i förhållande till dess kvasiperiod τ och satisfierar funktionalekvationen

där a och b är heltal.

Thetafunktionen där varierar. Den svarta punkten i figuren till höger visar hur varierar.
Thetafunktionen där varierar. Den svarta punkten i figuren till höger visar hur varierar.

Relaterade funktioner[redigera | redigera wikitext]

Thetafunktionen ovan betraktas ibland tillsammans med tre nära relaterade funktioner, i vilket fall den skrivs som

De andra funktionerna definieras som

Denna beteckning är efter Riemann och Mumford. I Jacobis beteckning är thetafunktionerna:

Om vi låter z = 0 i funktionerna ovan, får vi fyra funktioner som beror enbart på τ, definierade i övre planhalvan (ibland kallade för thetakonstanterna.) Dessa kan användas till att definiera ett flertal modulära former.

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Se [1]

Serieidentiteter[redigera | redigera wikitext]

Följande två serieidentiteter bevisades av István Mező:[2]

Dessa relationer gäller för alla 0 < q < 1. Speciella värden på q ger följande formler:

och

Relation till Riemanns zetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Relationen

användes av Riemann till att bevisa funktionalekvationen för Riemanns zetafunktion genom att använda integralen

som kan visas vara invariant under ersättning av s med 1 − s.

Relation till Weierstrass elliptiska funktion[redigera | redigera wikitext]

Thetafuntkionerna användes av Jacobi till att konstruera sina elliptiska funktioner som kvot av de fyra thetafunktionerna ovan, och kunde även ha använts av honom till att konstruera Weierstrass elliptiska funktion, eftersom

där andra derivatan är i förhållande till z och konstanten c definieras så att Laurentexpansionen av vid z = 0 har 0 som konstanta termen.

Relation till q-gammafunktionen[redigera | redigera wikitext]

Den fjärde thetafunktionen – och härmed även de tre andra – är nära relaterad till q-gammafunktionen enligt relationen[3]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Theta function#Jacobi identities, 12 maj 2014.

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Jinhee, Yi (2004), ”Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 292: 381–400, doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009. 
  2. ^ Mező, István (2013), ”Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions”, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (7): 2401–2410 
  3. ^ Mező, István (2012). ”A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function”. Journal of Number Theory 130 (2): sid. 360–369.