Jacobis ursprungliga thetafunktion
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
u
=
i
π
z
{\displaystyle u=i\pi z}
q
=
e
i
π
τ
=
0.1
e
0.1
i
π
{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }=0.1e^{0.1i\pi }}
θ
1
(
u
;
q
)
=
2
q
1
/
4
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
q
n
(
n
+
1
)
sin
(
2
n
+
1
)
u
{\displaystyle \theta _{1}(u;q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u}
θ
1
(
u
;
q
)
=
∑
n
=
−
∞
n
=
∞
(
−
1
)
n
−
1
/
2
q
(
n
+
1
/
2
)
2
e
(
2
n
+
1
)
i
u
{\displaystyle \theta _{1}(u;q)=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)iu}}
Inom matematiken är Jacobis thetafunktioner speciella funktioner av flera komplexa variabler. De är viktiga inom flera delar av matematiken, såsom teorierna av abelska varieteter , modulrum och kvadratiska former . De har även använts inom solitonteori . Då de generaliseras till en yttre algebra förekommer de även i kvantfältteori .
Det finns flera nära relaterade funktioner som kallas för Jacobis thetafunktioner och flera olika beteckningssystem för dem.
En Jacobis thetafunktion (uppkallad efter Carl Gustav Jacob Jacobi ) är en funktion definierad för två komplexa variabler z och τ, där z är godtyckligt och τ är i övre halvplanet , vilket betyder att den har positiv imaginär del. Funktionen ges av formeln
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
(
e
π
i
τ
)
n
2
cos
(
2
π
n
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
η
n
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}}
där q = exp(πi τ) och η = exp(2πiz ). Den är en Jacobiform .
Om τ är fixerat blir detta en Fourierserie för en periodisk analytisk funktion av z med period 1; i detta fall satisfierar thetafunktionen identiteten
ϑ
(
z
+
1
;
τ
)
=
ϑ
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}
Funktionen är även väldigt regelbunden i förhållande till dess kvasiperiod τ och satisfierar funktionalekvationen
ϑ
(
z
+
a
+
b
τ
;
τ
)
=
exp
(
−
π
i
b
2
τ
−
2
π
i
b
z
)
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\,\vartheta (z;\tau )}
där a och b är heltal.
Thetafunktionen
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
q
=
e
i
π
τ
{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
τ
{\displaystyle \tau }
Thetafunktionen
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
q
=
e
i
π
τ
{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
τ
{\displaystyle \tau }
Thetafunktionen ovan betraktas ibland tillsammans med tre nära relaterade funktioner, i vilket fall den skrivs som
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
ϑ
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}
De andra funktionerna definieras som
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
ϑ
(
z
+
1
2
;
τ
)
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
exp
(
1
4
π
i
τ
+
π
i
z
)
ϑ
(
z
+
1
2
τ
;
τ
)
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
exp
(
1
4
π
i
τ
+
π
i
(
z
+
1
2
)
)
ϑ
(
z
+
1
2
τ
+
1
2
;
τ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi i\!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau +{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right).\end{aligned}}}
Denna beteckning är efter Riemann och Mumford . I Jacobis beteckning är thetafunktionerna:
θ
1
(
z
;
q
)
=
−
ϑ
11
(
z
;
τ
)
θ
2
(
z
;
q
)
=
ϑ
10
(
z
;
τ
)
θ
3
(
z
;
q
)
=
ϑ
00
(
z
;
τ
)
θ
4
(
z
;
q
)
=
ϑ
01
(
z
;
τ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}
Om vi låter z = 0 i funktionerna ovan, får vi fyra funktioner som beror enbart på τ, definierade i övre planhalvan (ibland kallade för thetakonstanterna.) Dessa kan användas till att definiera ett flertal modulära former .
Se [ 1]
φ
(
e
−
π
x
)
=
ϑ
(
0
;
i
x
)
=
θ
3
(
0
;
e
−
π
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
x
π
n
2
{\displaystyle \varphi (e^{-\pi x})=\vartheta (0;{\mathrm {i} }x)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}}
φ
(
e
−
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \varphi \left(e^{-\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}
φ
(
e
−
2
π
)
=
6
π
+
4
2
π
4
2
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \varphi \left(e^{-2\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}
φ
(
e
−
3
π
)
=
27
π
+
18
3
π
4
3
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \varphi \left(e^{-3\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18{\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}
φ
(
e
−
4
π
)
=
8
π
4
+
2
π
4
4
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \varphi \left(e^{-4\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}
φ
(
e
−
5
π
)
=
225
π
+
100
5
π
4
5
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \varphi \left(e^{-5\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}
φ
(
e
−
6
π
)
=
3
2
+
3
3
4
+
2
3
−
27
4
+
1728
4
−
4
3
⋅
243
π
2
8
6
1
+
6
−
2
−
3
6
Γ
(
3
4
)
.
{\displaystyle \varphi \left(e^{-6\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}.}
Vidare, följande funktionalekvation
φ
(
e
−
π
x
)
=
1
x
φ
(
e
−
π
x
)
{\displaystyle \varphi {(e^{-\pi x})}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\varphi {(e^{-{\frac {\pi }{x}}})}}
kan användas för att enkelt härleda fler värden.
Följande två serieidentiteter bevisades av István Mező :[ 2]
ϑ
4
2
(
q
)
=
i
q
1
4
∑
k
=
−
∞
∞
q
2
k
2
−
k
ϑ
1
(
2
k
−
1
2
i
ln
q
,
q
)
{\displaystyle \vartheta _{4}^{2}(q)=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right)}
ϑ
4
2
(
q
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
q
2
k
2
ϑ
4
(
k
ln
q
i
,
q
)
.
{\displaystyle \vartheta _{4}^{2}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).}
Dessa relationer gäller för alla 0 < q < 1. Speciella värden på q ger följande formler:
π
e
π
2
1
Γ
2
(
3
4
)
=
i
∑
k
=
−
∞
∞
e
π
(
k
−
2
k
2
)
ϑ
1
(
i
π
2
(
2
k
−
1
)
,
e
−
π
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)}
och
π
2
1
Γ
2
(
3
4
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
ϑ
4
(
i
k
π
,
e
−
π
)
e
2
π
k
2
.
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}}.}
Relationen
ϑ
(
0
;
−
1
/
τ
)
=
(
−
i
τ
)
1
/
2
ϑ
(
0
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (0;-1/\tau )=(-i\tau )^{1/2}\vartheta (0;\tau )}
användes av Riemann till att bevisa funktionalekvationen för Riemanns zetafunktion genom att använda integralen
Γ
(
s
2
)
π
−
s
/
2
ζ
(
s
)
=
1
2
∫
0
∞
[
ϑ
(
0
;
i
t
)
−
1
]
t
s
/
2
d
t
t
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}}
som kan visas vara invariant under ersättning av s med 1 − s .
Thetafuntkionerna användes av Jacobi till att konstruera sina elliptiska funktioner som kvot av de fyra thetafunktionerna ovan, och kunde även ha använts av honom till att konstruera Weierstrass elliptiska funktion , eftersom
℘
(
z
;
τ
)
=
−
(
log
ϑ
11
(
z
;
τ
)
)
″
+
c
{\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c}
där andra derivatan är i förhållande till z och konstanten c definieras så att Laurentexpansionen av
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (z)}
z = 0 har 0 som konstanta termen.
Den fjärde thetafunktionen – och härmed även de tre andra – är nära relaterad till q-gammafunktionen enligt relationen[ 3]
(
Γ
q
2
(
x
)
Γ
q
2
(
1
−
x
)
)
−
1
=
q
2
x
(
1
−
x
)
(
q
−
2
;
q
−
2
)
∞
3
(
q
2
−
1
)
ϑ
4
(
1
2
i
(
1
−
2
x
)
log
q
,
1
q
)
.
{\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{(q^{-2};q^{-2})_{\infty }^{3}(q^{2}-1)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Theta function#Jacobi identities , 12 maj 2014 .
^ Jinhee, Yi (2004). ”Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications”. Journal of Mathematical Analysis and Applications 292: sid. 381–400. doi :10.1016/j.jmaa.2003.12.009 ^ Mező, István (2013). ”Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q -trigonometric functions”. Proceedings of the American Mathematical Society 141 (7): sid. 2401–2410. ^ Mező, István (2012). ”A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function”. Journal of Number Theory 130 (2): sid. 360–369. Speciella funktioner Gamma- och relaterade funktioner Zeta- och L -funktioner Besselfunktioner och relaterade funktioner Elliptiska funktioner och thetafunktioner Hypergeometriska funktioner Ortogonala polynom Andra funktioner
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi i\!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau +{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0a1078b773fccbcbb9040e4c7505cff651b779)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe9ada64c9690314e9f709e5f8b5005824a8b90)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-2\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e386e5d82e663d5cd67806a082bce188d747c8)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-3\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18{\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3ba8bb29f02c3e46c859e4e0ccf10e1e35e688)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-4\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99dc9be809c76d1491b7b2d61c3f3e17d558652)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-5\pi }\right)={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f9b03659f7a692a99a38394f114da38df3d4a0)
![{\displaystyle \varphi \left(e^{-6\pi }\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma ({\frac {3}{4}})}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23addb214dfaec4889e41b8e0acce731bb2c0468)
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4182e82ce00ffadf7eb675df4a2bd1136c24aeac)
