Banach-Steinhaus sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus sats[redigera | redigera wikitext]

Användning av Banach-Steinhaus sats[redigera | redigera wikitext]

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om X är ett Banachrum och  F_n är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum  Y så gäller att

 R = \{ x \in X : \sup_{T \in F_n} \|T (x)\| = \infty, \; \mbox{for all} \; n \} är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje  x \in \mathbb{T} gäller att mängden av funktioner i  C(\mathbb{T}) vars Fourierserie divergerar i x är tät i  C(\mathbb{T}) .

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus sats[redigera | redigera wikitext]

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.