Central binomialkoefficient

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1
Centrala binomialkoefficienter i Pascals triangel.

En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen

A_n = {2n \choose n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2n)}{(1 \cdot 2 \cdots n) \cdot (1 \cdot 2 \cdots n)}

där n är ett heltal och \begin{matrix} {m \choose k} \end{matrix} betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är

A_3 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.

Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.

Alternativa representationer[redigera | redigera wikitext]

En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som

A_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}

och med en semifakultet som

A_n = \frac{2^n(2n-1)!!}{n!}.

De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen Cn som ges av

C_n = \frac{1}{n+1} A_n.

Storleksuppskattning[redigera | redigera wikitext]

Enligt Stirlings formel gäller

\frac{1}{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} < A_n < \sqrt{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.

En noggrannare olikhet är

{2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right)\text{ där }\frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8} för alla n \geq 1.

Ett gränsvärde är

\lim_{n\rightarrow\infty} \left({2n \choose n} \left(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\right)^{-1} \right) = 1.

Samband mellan binomialkoefficienter[redigera | redigera wikitext]

Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:

A_n = \frac{4n-2}{n} A_{n-1}
A_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2
\sum_{r=0}^n A_r = \sum_{i+j+k=n} {i+j\choose i} {j+k\choose j} {k+i \choose k}

Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.

Talteoretiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten A_n aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.

Wolstenholmes sats kan användas för att visa att

A_p \equiv2\mod p^3

för alla primtal p > 3.

Genererande funktion[redigera | redigera wikitext]

De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen

\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.

Generalisering till komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt

A_z = \frac{\Gamma(2z+1)}{\Gamma(z+1)^2}.

De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen

A_z = \frac{2^{2z+1}}{\pi} \int_0^\infty \frac{1}{(x^2+1)^{z+1}} dx.

Serier av inversa centrala binomialkoefficienter[redigera | redigera wikitext]

I allmänhet är

S(k) \equiv 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k A_n} = {\,_{k+1}F_k}
\left(
\begin{matrix} \\ \underbrace{ 1, \ldots, 1; } \\ k+1 \end{matrix}
\;\; \frac{3}{2},\;\; 
\begin{matrix} \\ \underbrace{ 2, \ldots, 2; } \\ k-1 \end{matrix}
\;\; \frac{1}{4}
\right)

där pFq betecknar en hypergeometrisk funktion. Som specialfall gäller exempelvis

S(0) = \frac{2\pi\sqrt 3 + 9}{27}
S(1) = \frac{\pi\sqrt 3}{9}
S(2) = \frac{\zeta(2)}{3} = \frac{\pi^2}{18}
S(3) = \frac{\pi \sqrt 3 \left( \psi_1(1/3)-\psi_1(2/3) \right)}{18} - \frac{4 \zeta(3)}{3}
S(4) = \frac{17}{3240}\pi^4
S(5) = \frac1{432}\pi\sqrt3 \left(\psi_3(\tfrac13)-\psi_3(\tfrac23)\right) -\frac{19}3\zeta(5)+\frac19\zeta(3) \pi^2


där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψn betecknar polygammafunktionen. Fler sådana summor ges av Weisstein.

En analogisk serie är

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^k\binom{2n}n} = \frac12\, \cdot \, {}_{k+1}F_k \left(\underbrace{1,\ldots,1}_{k+1}; \tfrac32, \underbrace{2,\ldots,2}_{k-1}; \tfrac{-1}4 \right).

Några specialfall av den är

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\binom{2n}n} &= \frac1{25}\left(5+4\sqrt5\cdot \mathrm{arccsch}(2)\right) &=&\, 0{,}37216357638560161555577\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\binom{2n}n} &= \frac25\sqrt5\cdot \mathrm{arccsch}(2) &=&\; 0{,}430408940964\ldots\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2\binom{2n}n} &= 2\left(\mathrm{arccsch}(2)\right)^2 & = &\; 0{,}463129641154\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3\binom{2n}n} &= \frac25\zeta(39) &=&\; 0{,}48082276126\ldots \end{align}.

Källor[redigera | redigera wikitext]