Hyperbolisk funktion

Sinh (röd), cosh (grön) och tanh (blå).

Koppling mellan hyperbler och de hyperboliska funktionerna. Varje punkt på högra delen av hyperbeln har koordinaten (cosh a, sinh a) där a är dubbla rödmarkerade arean i figuren.

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket framgår av deras benämningar:

• sinus hyperbolicus (sinh)
• cosinus hyperbolicus (cosh)
• tangens hyperbolicus (tanh)
• secans hyperbolicus (sech)
• cosecans hyperbolicus (csch)
• cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition

De hyperboliska funktionernas defintioner är

• $\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} 2$
• $\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} 2$
• $\tanh x = \frac {\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
• $\operatorname{sech}(x) = \frac 1 {\cosh x} = \frac 2 {e^x + e^{-x}}$
• $\operatorname{csch}(x) = \frac 1 {\sinh x}=\frac 2 {e^x - e^{-x}}$
• $\coth x = \frac 1 {\tanh x}=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

• $\cosh(x)=\cos(ix), \qquad \cosh(ix)=\cos(x)$
• $\sinh(x)=-i\sin(ix), \qquad \sinh(ix) = i\sin(x)$

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

$\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \qquad \cosh(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

Identiteter

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

sinh är udda, cosh är jämn:

$\cosh(-x)= \cosh x$

$\sinh(-x)=- \sinh x$

Summor:

$\sinh {(x + y)} = \sinh {(x)} \cdot \cosh {(y)} + \cosh{(x)} \cdot \sinh {(y)}$

$\sinh {( x - y )} = \sinh {(x)} \cdot \cosh {(y)} - \cosh{(x)} \cdot \sinh {(y)}$

$\cosh {(x + y)} = \cosh {(x)} \cdot \cosh {(y)} + \sinh{(x)} \cdot \sinh {(y)}$

$\cosh {( x - y )} = \cosh {(x)} \cdot \cosh {(y)} - \sinh{(x)} \cdot \sinh {(y)}$

Inversa funktioner

De trigonometriska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

• $\operatorname{arcsinh} x = \ln(x+\sqrt {x^2+1})$
• $\operatorname{arccosh} x = \ln(x+\sqrt {x^2-1})$
• $\operatorname{arctanh} x = \frac 1 2\cdot \ln \left( \frac {1+x} {1-x} \right)$

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator

$\frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) \,$

$\frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsinh} (x) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arccosh} (x) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arctanh} (x) =\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arccsch} (x) =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsech} (x) =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\operatorname{arccoth} (x) =\frac{1}{1-x^{2}}$

Se även

• Trigonometrisk funktion
• Derivata
• Tabell över matematiska symboler

Externa länkar

• GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)