Eulers formel

Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"

Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna. Den kan tecknas

$\ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet.

$\ e^{i \pi} + 1 = 0$

Detta är en formel som förbluffat matematikstudenter genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet e från analysen, talet π från geometrin, den imaginära enheten, i, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur Taylorutvecklingen av e^z genom att sätta z = iθ. Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

Bevis av Eulers formel

Taylorserien för den reella exponentialfunktionen e^x kan skrivas

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

$e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots$

Funktionerna e^x, cos(x) och sin(x) (där x är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger följande serier:

$\begin{align} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align}$

För komplexa tal z, definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att x ersätts med z (där x är ett reellt och z är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla z, vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla z. Då gäller:

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

Notera att om z sätts till ett reellt tal x så erhålls Eulers formel på den form vi är vana att se den:

$e^{ix} = \cos{x}+i\sin{x}\frac{}{}$

Se även

• Komplexa tal
• Eulers identitet