Konform avbildning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En konform avbildning f som avbildar par av linjer som skär varandra i 90° till kurvor som skär varandra i 90°.

Inom matematiken är en konform avbildning en avbildning som bevarar vinklar. I det mest generella fallet sker avbildningen mellan områden i det komplexa planet. Konforma avbildningar kan definieras mellan mängder i komplexa planet, euklidiska rum och Riemannmångfalder.

Mer formellt kallas en avbildning, w=f\left(z\right) konform (eller vinkelbevarande) i z_{0} om den bevarar vinklar mellan kurvor som går genom punkten z_{0}, samt vinklarnas orientering. Konforma avbildningar bevarar både vinklar och formen på en infinitesimal figur, men dock inte nödvändigtvis deras storlek.

Egenskapen konformitet kan beskrivas i termer av Jacobianens derivata. Då representerar Jacobianen matrisformen för en koordinattransformation. Om Jacobianen av transformationen överallt är en skalär multiplicerat med en rotationsmatris, är transformationen konform.

Komplex analys[redigera | redigera wikitext]

Om U är en delmängd till \C och f är en funktion f: U \to \C är f konform på hela U om och endast om f är en analytisk funktion med nollskild derivata på hela U.

Enligt Riemanns avbildningssats gäller att för varje icke-tom öppen enkelt sammanhängande mängd U, som är en äkta delmängd till \C, finns en bijektiv konform avbildning från U till den öppna enhetsskivan i \C.

En avbildning från det utökade komplexa talplanet till sig själv är konform om och endast om det är en Möbiusavbildning.