Konform avbildning

En konform avbildning f som avbildar par av linjer som skär varandra i 90° till kurvor som skär varandra i 90°.

Inom matematiken är en Konform avbildning, en avbildning som bevarar vinklar. I det mest generella fallet så verkar avbildningen mellan områden i det komplexa planet. Konforma avbildningar kan definieras mellan mängder i komplexa planet, euklidiska rum och Riemannmångfalder.

Mer formellt så kallas en avbildning, $w=f\left(z\right)$ konform (eller vinkelbevarande) i $z_{0}$ om den bevarar vinklar mellan kurvor som går genom punkten $z_{0}$, samt vinklarnas orientering. Konforma avbildningar bevarar både vinklar och formen på en infinitesimal figur, men dock inte nödvändigtvis deras storlek.

Egenskapen konformitet kan beskrivas i termer av Jacobianens derivata. Då representerar Jacobianen matrisformen för en koordinattransformation. Om Jacobianen av transformationen överallt är en skalär multiplicerat med en rotationsmatris, så är transformationen konform.

Komplex analys

Om U är en delmängd till $\C$ och f är en funktion $f: U \to \C$ så är f konform på hela U om och endast om f är en analytisk funktion med nollskild derivata på hela U.

Riemanns avbildningssats säger att för varje icke-tom öppen enkelt sammanhängande mängd U som är en äkta delmängd till $\C$ finns en bijektiv konform avbildning från U till den öppna enhetsskivan i $\C$.

En avbildning från det utökade komplexa talplanet till sig själv är konform om och endast om det är en Möbiusavbildning.