Moduloräkning

Matematiska operationer
Addition (+)
term + term addend + addend	=	summa
Subtraktion (−)
term − term minuend − subtrahend	=	differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor multiplikator × multiplikand	=	produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare dividend / divisor	=	kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor	=	rest
Exponentiering (^)
basexponent	=	potens
n:te roten (√)
grad √radikand	=	rot
Logaritm (log)
logbas(potens)	=	exponent

Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.

Inledning

Två tal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (a,b och n är heltal, n är större eller lika med 2).

Detta betecknas $a\equiv b{\pmod {n}}$. Man kan också skriva $a\equiv _{n}b$.

Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta.

Vilket betecknas $a\not \equiv b{\pmod {n}}$

Exempel

• $9\equiv 14{\pmod {5}}$, Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
• $24\equiv 17{\pmod {7}}$, Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
• $7\not \equiv 4{\pmod {6}}$, Resten blir olika vid division med 6

De fyra räknesätten

Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar bara i vissa fall, därför bör man undvika det, istället kan man förkorta enligt angiven moduloklass och sedan multiplicera för att ta sig runt problemet.

Addition

$13+16=29\equiv 4{\pmod {5}}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första får vi samma svar

$13\equiv 3{\pmod {5}}$

$16\equiv 1{\pmod {5}}$

$3+1=4\equiv 29{\pmod {5}}$

Subtraktion

$13-16=-3\equiv 2{\pmod {5}}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första får vi samma svar

$13\equiv 3{\pmod {5}}$

$16\equiv 1{\pmod {5}}$

$3-1=2\equiv -3{\pmod {5}}$

Multiplikation

$13\times 16=208\equiv 3{\pmod {5}}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första får vi samma svar

$13\equiv 3{\pmod {5}}$

$16\equiv 1{\pmod {5}}$

$3\times 1=3\equiv 208{\pmod {5}}$

Division

Som tidigare nämnts, fungerar division bara i vissa fall, varför man bör undvika det. Istället kan man förkorta enligt angiven moduloklass och sedan multiplicera för att ta sig runt problemet.

Källor

Tryckta källor

• A. Asratian, A. Björn, B. O. Turesson (2007). Diskret Matematik. Linköping: Matematiska institutionen, Linköpings Universitet 

Webbkällor

• http://www.peterholgersson.se/pdf.php?d=405 (hämtad 2008-05-12)