Moore–Penroses pseudoinvers

Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition

Moore–Penroses pseudoinvers till en matris $A$ är en matris $A^{+}$ som uppfyller:

1. $AA^{+}A=A$       ($AA^{+}$ behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i $A$ på sig själva);
2. $A^{+}AA^{+}=A^{+}$       ($A^{+}$ is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
3. $(AA^{+})^{*}=AA^{+}$       ($AA^{+}$ är en hermitesk matris)
4. $(A^{+}A)^{*}=A^{+}A$       ($A^{+}A$ är också hermitesk).

$A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till $A$. För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper

Givet en matris $A$ med Moore–Penroses pseudoinvers $A^{+}$, gäller följande:

• $A^{+}$ är unik.
• Om $A$ är en inverterbar matris, är $A^{-1}=A^{+}$.
• Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, $(A^{+})^{+}=A$.
• $AA^{+}$ är en ortogonal projektion på $A$s värderum.
• $A^{+}A$ är en ortogonal projektion på $A^{*}$s värderum.
• Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall

Ortonormala rader och kolonner

Om $A$ har ortonormala kolonnvektorer ($AA^{*}=I$) eller ortonormala radvektorer ($A^{*}A=I$ så är $A^{+}=A^{*}$).

Linjärt oberoende kolonner och rader

Om kolonnerna i $A$ är linjärt oberoende är $A^{*}A$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

$A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}$.

Det följer då att $A^{+}$ är vänsterinvers till $A$.

Om raderna i $A$ är linjärt oberoende är $AA^{*}$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

$A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}$.

Det följer då att $A^{+}$ är högerinvers till $A$.

Beräkning

Singulärvärdesfaktorisering

Om matrisen $A$ har singulärvärdesfaktoriseringen $A=U\Sigma V^{*}$ så fås $A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}$. Pseudoinversen av $\Sigma$, som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element $\sigma _{i}$ i diagonalen med ${\frac {1}{\sigma _{i}}}$. Exempel:

$\Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0&0\\0&\sigma _{2}&0&0\\0&0&\sigma _{3}&0\end{pmatrix}}~~\Sigma ^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma _{1}}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{\sigma _{2}}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{\sigma _{3}}}&0\end{pmatrix}}$

Tillämpningar

Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av $Ax=b$ ges minsta kvadrat-lösningen av $x=A^{+}b$.