Linjärt oberoende

Linjärt oberoende är ett centralt begrepp inom linjär algebra. En familj av vektorer sägs vara linjärt oberoende om ingen av dem kan uttryckas som en ändlig linjärkombination av de övriga. I R³ har vi till exempel kolonnvektorerna

$\begin{matrix} \mbox{linj. oberoende}\qquad\\ \underbrace{ \overbrace{ \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix} }, \begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix} }\\ \mbox{linj. beroende}\\ \end{matrix}$

De första tre vektorerna är linjärt oberoende men den fjärde vektorn kan skrivas som 9 gånger den första plus 5 gånger den andra plus 4 gånger den tredje vektorn. Alltså är de fyra vektorerna ej linjärt oberoende. De säges då vara linjärt beroende.

Definition

Låt $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$ vara element i ett vektorrum V och låt $a_1, a_2, \ldots, a_n$ vara skalärer. Vektorerna är linjärt oberoende om ekvationen

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

endast har den triviala lösningen

$a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$.

Mera allmänt gäller att en familj av vektorer $\{v_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ där A är en godtycklig indexmängd, är linjärt oberoende om ekvationen

$\sum_{i \in I} a_i v_i = 0$

där $I \subset A$ är en ändlig delmängd av A, bara har den triviala lösningen

$a_i = 0 \,\, \forall i \in I$

En mängd vektorer som är linjärt oberoende och som spänner upp ett visst vektorrum utgör en bas för vektorrummet.

Linjärt beroende

Rⁿ -vektorerna a₁, a₂,... a_m där m>= 2 är linjärt beroende om någon av dem är en linjärkombination av de andra.

En ekvivalent definition är att

$\sum_{k=1}^m c_k\mathbf{a}_k=\mathbf{0}$

utan att alla koefficienter c_k är lika med noll.

R² -vektorerna a, b och c är linjärt beroende då det existerar tal k₁ och k₂ sådana att

$\mathbf{c} = k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b}\,$

eller

$\ k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$

Exempel

För att bestämma om en uppsättning vektorer är linjärt oberoende finns det flera sätt att gå tillväga. Ett är att uttnyttja definitionen genom att ställa upp ekvationssystemet $\sum_{i=1}^n a_i v_i = 0$ och undersöka dess lösningar. Finns icke-triviala lösningar är vektorerna linjärt beroende, annars linjärt oberoende.

För ett ändligtdimensionellt vektorrum V gäller att $v_1, v_2, \ldots, v_n$ är linjärt beroende om n > dim V, dimensionen av V.

För en mängd av vektorer, $v_1, v_2, \ldots, v_n$, i ett vektorrum av dimension n, går det att avgöra om dessa är linjärt oberoende genom att bilda en matris av vektorerna (uttryckta i någon bas). Vektorerna är linjärt oberoende om och endast om matrisens determinant är skild från 0.

En mängd av vektorer är linjärt beroende om och endast om en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de övriga.

Referenser

• S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1996
• G. Sparr, Linjär Algebra, Studentlitteratur, 1994