Simplex

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Den här artikeln handlar om simplex inom matematik. För andra betydelser, se Duplex.
En 3-simplex eller tetraeder.

Inom geometri är ett simplex, ibland kallat hypertetraeder, en n-dimensionell motsvarighet till en triangel eller tetraeder. Ett n-simplex är den enklast möjliga polytopen i n-rummet, och en regelbunden polytop (och tillika ett regelbundet simplex) om alla dess sidor är av samma längd.[1]

Namnet kommer från latinets simplex som betyder "enkel".

Definition[redigera | redigera wikitext]

Mer specifikt är ett simplex det konvexa höljet till en ändlig uppsättning punkter i ett euklidiskt rum. Ett simplex är ett n-simplex om det är mängden av det konvexa höljet av (n+1) affint oberoende punkter. Om mängden är \{x_i\}, (i=0, ..., n) så bildar vektorerna x_i-x_0 en bas för det associerade vektorrummet.[2] Enklare uttryckt är det en uppsättning punkter som är sådan att inget m-dimensionellt plan rymmer fler än (m+1) punkter från uppsättningen.

I enlighet med detta utgörs ett simplex av en given dimension av en punkt fler än dess givna dimension. Ett 0-dimensionellt simplex, eller 0-simplex, blir alltså en punkt. Ett 1-dimensionellt simplex, 1-simplex, är på samma sätt två punkter som avgränsar ett linjesegment. Ett 2-simplex är således en triangel, ett 3-simplex en tetraeder och ett 4-simplex en pentatop (i samtliga fall med ett inre).[3]

Rubrik[redigera | redigera wikitext]

Låt A_1,...,A_{n+1} vara hörn i ett n-simplex i En. Då kan varje punkt X i En uttryckas på formen

X=\sum_{i=1}^{n+1} x_iA_i, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1,

där x_i är reella tal.[4]

Element[redigera | redigera wikitext]

Eftersom en delmängd av en affint oberoende mängd är affint oberoende självt, följer det att alla element av lägre dimension som utgör ett simplex även själva är simplexar.[5] Mer specifkt sägs det konvexa höljet till någon delmängd m av de n punkterna vara ett simplex och kallas en m-sida. 0-sidor kallas hörn, 1-sidor kanter, (n-1)-sidor celler och (den enda) n-sidan är hela simplexet. Generaliserat är antalet m-sidor lika med binomialkoefficienten \tbinom{n+1}{m+1} och antalet m-sidor hos ett n-simplex finns i (m+1)-kolumnen på rad (n+1) i Pascals triangel.

Ett enkelt sätt att se detta är att föreställa sig en triangel som, enligt ovan, innehåller tre 0-sidor, alltså de tre hörnen. Den innehåller tre 1-sidor (eller kanter), det vill säga linjesegmenten som sammabinder hörnpunkterna. Dess n-sida är triangeln självt.

En enkel triangel.
En triangel med 3 hörn, 3 kanter och en sida.

Benämningar[redigera | redigera wikitext]

Dimension Namn
0 punkt
1 linjesegment
2 triangel
3 tetraeder
4 pentatop
5 hexatetra [Engelska, översättning saknas]
6 heptapenta [Engelska, översättning saknas]
7 octahexon [Engelska, översättning saknas]

[1]

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Den så kallade simplexmetoden är en metod för att lösa linjära optimeringsproblem. Dessutom är simplex och delsimplex centrala objekt i algebraisk topologi.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] Olshevsky, George. ”Glossary for hyperspace”. http://classic-web.archive.org/web/20070207021813/members.aol.com/Polycell/glossary.html#Simplex. Läst 18 maj 2011. 
  2. ^ Berger, Marcel (2010). Geometry Revealed - A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry. Springer. sid. 419 
  3. ^ Weisstein, Eric W.. ”"Simplex." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.”. http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html. Läst 17 maj 2011. 
  4. ^ Fiedler, Miroslav (2011). Matrices and graphs in geometry. Cambridge University Press. sid. 4 
  5. ^ Yemelichev, V.A; Kovalev, M.M; Kravtsov, M.K. (1984). Polytopes, Graphs and Optimisation. Press Syndicate of the University of Cambridge. sid. 23 

Litteratur[redigera | redigera wikitext]