Binär relation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Se även social relation.

Inom matematiken är en binär relation , mellan två mängder och , en delmängd av den cartesiska produkten mellan och :

"Binär" betyder i detta sammanhang "tvåställig". Det finns även ternära (treställiga) relationer, kvaternära (fyrställiga) relationer och så vidare – som delmängder av cartesiska produkter av tre eller fler mängder – men dessa är sällan förekommande i "vanlig" matematik. Därför används ofta relation som synonymt med binär relation.

Ett element är relaterat till ett element via relationen om det ordnade paret är ett element i mängden , det vill säga om . Istället för att skriva kan man skriva vilket utläses: ' är relaterat till via .'

Tre viktiga typer av binära relationer inom matematiken är:

  • Ekvivalensrelationer
  • Ordningsrelationer
  • Avbildningar.

Ekvivalensrelationer[redigera | redigera wikitext]

En ekvivalensrelation på en mängd är en delmängd av den cartesiska produkten som besitter följande tre egenskaper:

  • (Reflexivitet) Varje element är relaterat till sig själv:
  • (Symmetri) Elementet är relaterat till elementet om och endast om elementet är relaterat till elementet : omm
  • (Transitivitet) Om är relaterad till , vilken i sin tur är relaterad till , så är relaterad till :

Ekvivalensklassen , associerad med ett element , är mängden av alla element som är relaterade till :

Ekvivalensklasserna och associerade med två distinkta element är disjunkta mängder:

Vidare kan mängden skrivas som unionen av alla dessa ekvivalensklasser:

Denna representation av en mängd är ofta förekommande inom matematiken: Exempelvis inom funktionalanalys är det vanligt att två element i ett -rum identifieras om de tillhör samma ekvivalensklass.

Ordningsrelationer[redigera | redigera wikitext]

Partiell ordning[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Partiellt ordnad mängd

En partiell ordningsrelation (partiell ordning) R – som vi för intuitionens skull betecknar med symbolen vilken utläses: "mindre än eller lika med" – på en mängd är en delmängd av den cartesiska produkten som besitter följande tre egenskaper:

  • (Reflexivitet) Varje element är relaterat till sig själv:
  • (Antisymmetri) Om elementet är relaterat till elementet och om elementet är relaterat till elementet , så är :
  • (Transitivitet) Om är relaterad till , vilken i sin tur är relaterad till , så är relaterad till z:

Paret säges vara en partiellt ordnad mängd.

Total ordning[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Totalt ordnad mängd, se Linjär ordning

En total ordningsrelation (total ordning, linjär ordning) på en mängd är en partiell ordningsrelation, , som även besitter egenskapen att, för varje val av två element , antingen är eller .

Paret säges vara en totalt ordnad mängd.

Välordning[redigera | redigera wikitext]

En välordning-relation (välordning, god ordning(?)) på en mängd är en total ordningsrelation, , som även besitter egenskapen att varje icke-tom delmängd har ett unikt minsta element.

Paret säges vara en välordnad mängd.

Avbildningar[redigera | redigera wikitext]

En avbildning av en mängd på en mängd är en delmängd av den cartesiska produkten som besitter följande egenskap:

  • Varje element är relaterat till ett unikt element .

För att göra associationen mellan och det motsvarande unika elementet tydlig, brukar man skriva

Själva relationen, mellan och brukar skrivas

och utläses 'f avbildar X på Y'. Avbildningar går även under namnet funktioner, men ofta reserverar man namnet funktion till en avbildning

från en mängd till mängden av komplexa tal , eller en delmängd av de komplexa talen. Följande är synonymer för avbildning: transformation, funktionsrelation, abstrakt funktion.

En avbildning,

associerar inte bara enskilda element i med enskilda element i ; man kan även associera delmängder av med delmängder av : En godtycklig delmängd associeras med bildmängden

Detta utläses som: 'f(A) är lika med mängden av alla element y i Y, som är sådana att det existerar ett element x i A, med egenskapen att y = f(x).' (Se artikeln om predikatlogik för mer information om den så kallade existenskvantorn .)

Mängden kallas för avbildningens

definitionsmängd och den speciella bildmängden

kallas avbildningens värdemängd.

Det är även möjligt att associera delmängder av med delmängder av : En godtycklig delmängd associeras med den så kallade urbilden

Notera att dessa två sätt att associera delmängder inte är likvärdiga: Om vi låter vara en en-punktsmängd, , så är bildmängden

också en en-punktsmängd; definitionen av begreppet avbildning tvingar fram denna situation. Om vi å andra sidan låter vara en en-punktsmängd, , så är dess urbild

inte nödvändigtvis en en-punktsmängd; det kan mycket väl finnas två eller fler element i som avbildas på elementet .

Bild över en injektiv linjär funktion

I de fall då urbilden av en en-punktsmängd är en en-punktsmängd, säger man att avbildningen är injektiv: Varje element i värdemängden associeras då med endast ett element och vice versa. Ett annat sätt att uttrycka detta på är att säga att avbildningen

är bijektiv. (Notera att vi har ersatt mängden Y med bildmängden f(X).)

I de fall då avbildningens

värdemängd sammanfaller med mängden , det vill säga då

säger man att avbildningen

är surjektiv.

Bild över en surjektiv linjär funktion

Den praktiska innebörden av begreppen injektiv och surjektiv[redigera | redigera wikitext]

Att en avbildning är surjektiv innebär att det för varje element existerar minst en lösning till ekvationen .

Att en avbildning är injektiv innebär att om ekvationen har en lösning, så är den unik.

Om avbildningen är bijektiv – både injektiv och surjektiv – så existerar det för varje element en unik lösning till ekvationen .

I vardagligt språk har egentligen relation samma betydelse som den formaliserade inom mängdteori nedan. Oftast är det relationer mellan människor som avses, se till exempel släktskapsrelation. Ibland används ordet också som synonym till mellanmänskliga förhållanden eller mer allmänt om sådant som rör kärlek, samlevnad och parbildningar mellan människor.

Mängdteori[redigera | redigera wikitext]

I mängdteori menas med relation en mängd av ordnade par, det vill säga ett tvåställigt predikat. Man tänker sig att objekten i de ingående paren har en viss relation till varandra. Om man till exempel från en mängd av människor plockar ut alla par (x, y) där x är far till y och samlar dessa i en mängd har man bildat relationen far. Om relationen är en tom mängd finns det inga par av objekt som står i detta förhållande till varandra. Ett specialfall av relation, när det för varje x bara finns ett element y, är funktion.

I en mer generell betydelse kan relation också vara n-ställiga predikat (med n > 1). Ettställiga predikat kallas dock normalt egenskaper och inte relationer.

Exempel på tvåställiga relationer i talteori:

Tvåställiga relationer kan klassificeras efter huruvida de har följande egenskaper:

En relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv är en ekvivalensrelation.
En relation som är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv är en partialordning, se "partiellt ordnad mängd".