Catalans konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Catalans konstant är en matematisk konstant som definieras som

G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!

där β är Dirichlets beta-funktion.

Dess approximativa värde är

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Catalans konstant är uppkallad efter Eugène Charles Catalan.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Catalans konstant har ett flertal integralrepresentationer:

G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \!
G = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \!
G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \;dt  \!
G = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \;dt \!
G = \int_0^{\pi/4} \ln ( \cot(t) ) \,dt \!
 G = \tfrac12 \int_0^{\infty} \frac{t}{\cosh t}\,dt \;
G = \int_0^\infty \arctan (e^{-t}) \,dt \!
 G = \int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt. \!
 G = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{K}(t)\,dt \!

där K(t) är en fullständig elliptisk integral.

Oändliga serier[redigera | redigera wikitext]

Catalans konstant har även ett flertal representationer som en oändlig serie:

G = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1) \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+2)\


G = \frac{1}{64} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{8n}\cdot (40 n^2 - 24 n + 3) \cdot (2n)!^3 \cdot n!^2}{n^3 \cdot (2n-1) \cdot (4n)!^2}\



\begin{align}
G & =
3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) \\
& {}\quad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)
\end{align}.

och

G = \tfrac18\pi \log(2 + \sqrt{3}) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Relation till speciella funktioner[redigera | redigera wikitext]

Catalans konstant förekommer i speciella värden av trigammafunktionen:

 \psi_1 \left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G
 \psi_1 \left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G.

Förutom polygammafunktionerna är den är nära relaterad Clausens funktion, inversa tangensintegralen, inversa sinusintegralen, Barnes G-funktion samt serier och integraler relaterade till de ovannämnda funktionerna.

Bland annat gäller följande relation mellan Bernes G-funktion och gammafunktionen:

G=4\pi \log\left( \frac{ G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8}) }{ G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8}) } \right) +4 \pi \log \left( \frac{ \Gamma(\tfrac{3}{8}) }{ \Gamma(\tfrac{1}{8}) } \right) +\frac{\pi}{2} \log \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \, (2-\sqrt{2})} \right).

Catalans konstant är även relaterad till Lerchs transcendent enligt

 G = \tfrac{1}{4}\,\Phi(-1, 2, \tfrac{1}{2}).


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Catalan's constant, 1 november 2013.


Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Catalansche Konstante, 1 november 2013.