Barnes G-funktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som


där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.

Funktionalekvationer[redigera | redigera wikitext]

Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna

och

Multiplikationsformel[redigera | redigera wikitext]

Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln

där ges av

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

För gäller Taylorserien

där är Riemanns zetafunktion.

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

där G är Catalans konstant och A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Asymptotisk expansion[redigera | redigera wikitext]

Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:

Relation till gammafunktionens integral[redigera | redigera wikitext]

Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:

Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:

och med lite förenkling får man

Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över  :

Eftersom de två uttrycken är identiska är

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.