Elliptisk integral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom integralkalkylen uppstod elliptiska integraler i samband med problemet att beräkna längden av en elliptisk båge. De studerades först av Giulio Fagnano och Leonhard Euler. Den moderna matematiken definierar an elliptisk integral som varje funktion f som kan skrivas på formen

där R är en rationell funktion med två argument, P är ett polynom av grad 3 eller 4 utan multipla rötter och c är en konstant.

Integraler av denna form, kan i allmänhet inte uttryckas med elementära funktioner. Undantag från denna regel förekommer när P har multipla rötter, eller när R(x,y) inte innehåller udda potenser av y. Emellertid, med lämplig integrationsmetod, kan varje elliptisk integral överföras till en form innefattande integraler över rationella funktioner och de tre kanoniska Legendreformerna (det vill säga, elliptiska integraler av första, andra och tredje slaget).

Historiskt sett upptäcktes elliptiska funktioner som inversa funktioner till elliptiska integraler.

Fullständiga elliptiska integralen av första slaget[redigera | redigera wikitext]

K definieras som

och kan skrivas med fullständiga elliptiska integralen av första slaget som

Den kan uttryckas som potensserien

Med hjälp av Gauss hypergeometriska funktion kan den skrivas som

Det effektivaste beräkningssättet är att utnyttja relationen till det aritmetisk-geometriska medelvärdet:

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Relation till Jacobis θ-funktion[redigera | redigera wikitext]

Relationen till Jacobis tehtafunktion ges av

där q ges av

Asymptotiska uttryck[redigera | redigera wikitext]

Derivata och differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

En annan lösning ges av