Lerchs transcendent

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är

\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty
\frac { z^n} {(n+\alpha)^s}.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av


\Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty
\frac{t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}\,dt

\Re(a)>0\wedge\Re(s)>0\wedge z<1\vee\Re(a)>0\wedge\Re(s)>1\wedge z=1.

En annan integralrepresentation ges av


\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+
\frac{\log^{s-1}(1/z)}{z^a}\Gamma(1-s,a\log(1/z))+
\frac{2}{a^{s-1}}
\int_0^\infty
\frac{\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^2)^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}\,dt

\Re(a)>0.

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs zetafunktion är ett specialfall:

\,\zeta(s,\alpha)=L(0, \alpha,s)=\Phi(1,s,\alpha).

Polylogaritmen är ett också specialfall:

\,\textrm{Li}_s(z)=z\Phi(z,s,1).

Legendres chifunktion ges av

\,\chi_n(z)=2^{-n}z \Phi (z^2,n,1/2).

Riemanns zetafunktion ges av

\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1).

Dirichlets etafunktion ges av

\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1).

Andra specialfall ges av

\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z
\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}
\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}
\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,
\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z
\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)
\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,
\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}

Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:

\begin{align}
&\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G 
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right)
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2}
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi
\end{align}

där G är Catalans konstant, A är Glaisher-Kinkelins konstant och \zeta(3) är Apérys konstant.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom

\Phi(z,s,a)=z^n \Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}

och

\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)

och

\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a).

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som

\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z} 
\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (q+k)^{-s}.

(Notera att \tbinom{n}{k} är en binomialkoefficient.)

Om s är ett positivt heltal är


\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{
\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^ \infty \zeta(n-k,a)\frac{\log^k (z)}{k!}
+\left[\psi(n)-\psi(a)-\log(-\log(z))\right]\frac{\log^{n-1}(z)}{(n-1)!}\right\},

\psi(n) är digammafunktionen.

En Taylorserie i tredje variabeln ges av


\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty \Phi(z,s+k,a)(s)_{k}\frac{(-x)^k}{k!};|x|<\Re(a),

där (s)_{k} är Pochhammersymbolen.

En serie med ofullständiga gammafunktionen är

\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}} \quad |a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.