Lerchs transcendent

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av

En annan integralrepresentation ges av

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs zetafunktion är ett specialfall:

Polylogaritmen är ett också specialfall:

Legendres chifunktion ges av

Riemanns zetafunktion ges av

Dirichlets etafunktion ges av

Andra specialfall ges av

Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:

där är Catalans konstant, är Glaisher–Kinkelins konstant och är Apérys konstant.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom

och

och

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som

(Notera att är en binomialkoefficient.)

Om s är ett positivt heltal är

är digammafunktionen.

En Taylorserie i tredje variabeln ges av

där är Pochhammersymbolen.

En serie med ofullständiga gammafunktionen är

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, Vol. I, New York: McGraw-Hill, http://apps.nrbook.com/bateman/Vol1.pdf . (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27)
  • Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. (1980), Tables of Integrals, Series, and Products (4th), New York: Academic Press, ISBN 0-12-294760-6 . (se kapitel 9.55)
  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), ”Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”, The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270, doi:10.1007/s11139-007-9102-0 . * Jackson, M. (1950), ”On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series 2ψ2”, J. London Math. Soc. 25 (3): 189–196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189 .
  • Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 .
  • Lerch, Matyáš (1887), ”Note sur la fonction ” (på franska), Acta Mathematica 11 (1–4): 19–24, doi:10.1007/BF02612318 .
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.