Lerchs transcendent

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av

En annan integralrepresentation ges av

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs zetafunktion är ett specialfall:

Polylogaritmen är ett också specialfall:

Legendres chifunktion ges av

Riemanns zetafunktion ges av

Dirichlets etafunktion ges av

Andra specialfall ges av

Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:

där är Catalans konstant, är Glaisher–Kinkelins konstant och är Apérys konstant.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom

och

och

Serierepresentationer[redigera | redigera wikitext]

Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som

(Notera att är en binomialkoefficient.)

Om s är ett positivt heltal är

är digammafunktionen.

En Taylorserie i tredje variabeln ges av

där är Pochhammersymbolen.

En serie med ofullständiga gammafunktionen är

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, Vol. I, New York: McGraw-Hill, http://apps.nrbook.com/bateman/Vol1.pdf . (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27)
  • Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. (1980), Tables of Integrals, Series, and Products (4th), New York: Academic Press, ISBN 0-12-294760-6 . (se kapitel 9.55)
  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), ”Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”, The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270, doi:10.1007/s11139-007-9102-0 . * Jackson, M. (1950), ”On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series 2ψ2”, J. London Math. Soc. 25 (3): 189–196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189 .
  • Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 .
  • Lerch, Matyáš (1887), ”Note sur la fonction ” (på franska), Acta Mathematica 11 (1–4): 19–24, doi:10.1007/BF02612318 .
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.